在Haskell中求自由幂等幺半群元素的极小形式

该方程类似于自由幺半群，但其商为方程x²=x；例如，aa=a，bcb=b（cb）（cb）=bcb

然而，要在幺半群中找到单词的最小形式，通常需要展开（x=x²）和收缩（x²=x），因此语言中并非每个无平方的单词都是最小的。例如，bacbcab=bacbcab。因此，有限个生成元上的自由幂等幺半群是有限的

我要寻找的是Haskell中的一个算法，它接受幺半群中的一个有限字，在这里表示为a，并返回其最小形式，其中最小值的定义如下：

最短长度，以及

在相同长度的单词中，最小的

因此，该方法的签名为：

minimizedEmpotent:：Ord a=>Seq a->Seq a
最小有效性w=。。。

从这里开始，

半群

和

幺半群

实例的定义如下：

newtype幂等元a=幂等元（Seq a）
推导（Eq、Ord、Show）
实例Ord a=>半群（幂等元a），其中
幂等x幂等y
|null x=幂等元y
|null y=幂等元x
|否则=幂等元（极小幂等元（xy））
刺激nx=案例比较n0
LT->错误“时间（幂等）：负计数”
等式->幂等元记忆
GT->x
实例Ord a=>幺半群（幂等元a），其中
mempty=幂等元mempty
mappend=（）

M.Lothaire在《词语组合学》中对定理2.4.1的证明似乎有一些相关的线索。对于一个给定的单词，我们从中取出四块：

不包含整个单词所包含的所有字母的最长前缀

下一封信

不包含整个单词所包含的所有字母的最长后缀

上一封信

当p和q分别是w的适当前缀和后缀，且a和b分别是下一个和上一个字母时，写w.=（p，a，b，q）。例如，bacbcbc.=（ba，c，a，bc），aaabaa.=（aaa，b，b，aa）和abcd.=（abc，d，a，bcd）

如果w1.=（p1，a1，b1，q1）和w2.=（p2，a2，b2，q2），则它们在第34页的权利要求（iii）中证明w1~w2 iff p1~p2，a1=a2，b1=b2和q1~q2。（我用~表示由等式x~xx导出的同余关系，这样我可以区分精确的单词相等和商相等。）我们可以用它来创建一个算法，用于计算给定单词w的标准形式，如下所示：

计算p，a，b，q，使得w=（p，a，b，q）

递归地计算p的标准形式p'和q的标准形式q'。（基本大小写：空单词的标准形式是空单词。）

找到p'a的最长后缀，它是bq'的前缀；把这个叫做s，剩下的叫做t，这样p'a=ts

返回待决条件'

通过一个相对简单的归纳论证，我相信这个算法是正确的。所谓“正确”，我的意思是w1~w2 iff（w1）=f（w2），其中f是上述函数。不清楚f是否通过您提出的顺序生成等价类的最小代表，但从这个意义上讲，正确性可能足以满足您的需要

（严格地说，上面的步骤3和4对于正确性不是完全必要的。您可以返回p'abq'并获得相同的保证。但是与上面提出的算法相比，生成的代表将非常长。）

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这个算法不是很有效！您可以将其视为进行两次递归调用，每次调用的单词只包含一个唯一字母，因此所需时间至少与原始单词的字母表大小成指数关系。哎呀。您可能需要考虑一些简单的案例，以实现快速路径。例如，当所有重复的字母彼此相邻时，删除相邻的重复字母将标准化。另一条可能有用的快速路径是：当规范化wx时，您知道w和x已经被规范化了，那么如果您在递归过程中碰巧达到了它们，那么w和x本身就可以成为基本情况，也许你可以想出一些方法来廉价地识别w和x的附加子串，这些子串是合适的基本情况。

你知道如何用任何语言（甚至伪代码）实现这个算法吗？如果是这样的话，试着自己把它翻译成Haskell，告诉我们你在哪里被卡住了。如果不是的话，也许让这种语言变得不可知，或者甚至在CS stackexchange这样的姐妹网站上提问，会更有意义。我自己也读过那篇文章，但我不知道a和b是如何选择的。谢谢你的解释！到目前为止，我已经算出了基本情况：（1）如果α（x）|=x，那么min（x）=x；（2） 如果∉ x和a∉ y、 然后min（xay）=（min（x））a（min（y））；（3） |x |<4或| alpha（x）|<3的基本情况。现在，我想知道一种快速消除方块的方法是否有帮助，如果有，那是什么方法。