Integer 查找给定总数、部分数和最大和的整数分区数

我在寻找一个总的N的整数分区的数量，其中有许多部分S，最大部分正好是X，而不枚举所有部分

例如：100的所有分区都有10个部分，42个部分是最大部分

我没有发现解决这个问题的定理或划分恒等式，我怀疑这是一个不容易从已知定理推导出来的非平凡问题（例如Nijenhuis和Wilf 1978，Andrews等人2004，Bona 2006）：

例如：N的分区数正好是S部分等于N的分区数，其中S部分正好是最大部分

这个问题与我的研究有关，这远远超出了纯数学的范畴

更新：下面回答了这个问题，但我想发布我用来实现它的Python脚本。我可能会把它推过Cython以加快速度

n = 100 # the total
s = 10  # number of parts
x = 20  # largest part
print Partitions(n,length=s,max_part=x).cardinality() # Sage is very slow at this

def parts_nsx(n,s,x):
    if n==0 and s==0:return 1
    if n<=0 or s<=0 or x<=0:return 0
    if n>0 and s>0 and x>0:
        _sum = 0
        for i in range(0,s+1):
            _sum += parts_nsx(n-i*x, s-i, x-1)
        return _sum    
print parts_nsx(n,s,x) 

n=100#总数
s=10#零件数量
x=20#最大部分
打印分区（n，长度=s，最大部分=x）
def部件（n、s、x）：
如果n==0和s==0：返回1
如果没有：
_总和=0
对于范围（0，s+1）内的i：
_总和+=部分x（n-i*x，s-i，x-1）
返回和
打印零件（n、s、x）

对于这个数量的分区，递归

p（n，s，x）

保持：

P(n,s,x) = sum P(n-i*x, s-i, x-1), for i=0,...,s 
P(0,0,x) = 1
P(n,s,x) = 0, if n <= 0 or s <= 0 or x <= 0

P（n，s，x）=和P（n-i*x，s-i，x-1），对于i=0，…，s
P（0,0，x）=1
P（n，s，x）=0，如果n是一个小优化：
P（n，s，x）=0如果n>s*x，1如果n==s*x，上和如果nca你能解释一下为什么/如何进行上述实现吗？我知道这类似于限制较少的整数分区问题的递归关系，但对特定示例的解释确实会有帮助，特别是因为这个问题的其他示例不多。我希望有帮助。
D = {}
def P(n,s,x):
  if n > s*x or x <= 0: return 0
  if n == s*x: return 1
  if (n,s,x) not in D:
    D[(n,s,x)] = sum(P(n-i*x, s-i, x-1) for i in xrange(s))
  return D[(n,s,x)]

P(100, 10, 42)
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