Isabelle 如何为存在量词生成代码

以下是一个示例理论：

datatype ty = A | B | C

inductive test where
  "test A B"
| "test B C"

inductive test2 where
  "¬(∃z. test x z) ⟹ test2 x"

code_pred [show_modes] test .
code_pred [show_modes] test2 .

values "{x. test2 A}"

生成的代码尝试在ty上枚举。因此它失败了

我试图定义测试谓词的可执行版本：

definition "test_ex x ≡ ∃y. test x y"

definition "test_ex_fun x ≡
  Predicate.singleton (λ_. False)
    (Predicate.map (λ_. True) (test_i_o x))"

lemma test_ex_code [code_abbrev, simp]:
  "test_ex_fun = test_ex"
  apply (intro ext)
  unfolding test_ex_def test_ex_fun_def Predicate.singleton_def
  apply (simp split: if_split)

但我不能证明引理。你能推荐一个更好的方法吗？

嗯，values抱怨ty不是枚举类型。因此，在这种特殊情况下，最容易执行此实例化

instantiation ty :: enum
begin
definition enum_ty :: "ty list" where
  "enum_ty = [A,B,C]"  
definition "enum_all_ty f = list_all f [A,B,C]" 
definition "enum_ex_ty f = list_ex f [A,B,C]" 
instance
proof (intro_classes)
  let ?U = "UNIV :: ty set" 
  show id: "?U = set enum_class.enum" 
    unfolding enum_ty_def
    using ty.exhaust by auto
  fix P
  show "enum_class.enum_all P = Ball ?U P" 
    "enum_class.enum_ex P = Bex ?U P" 
    unfolding id enum_all_ty_def enum_ex_ty_def enum_ty_def by auto
  show "distinct (enum_class.enum :: ty list)" unfolding enum_ty_def by auto
qed

之后，您的values命令的计算不会出现问题。

嗯，values会抱怨ty不是排序enum。因此，在这种特殊情况下，最容易执行此实例化

instantiation ty :: enum
begin
definition enum_ty :: "ty list" where
  "enum_ty = [A,B,C]"  
definition "enum_all_ty f = list_all f [A,B,C]" 
definition "enum_ex_ty f = list_ex f [A,B,C]" 
instance
proof (intro_classes)
  let ?U = "UNIV :: ty set" 
  show id: "?U = set enum_class.enum" 
    unfolding enum_ty_def
    using ty.exhaust by auto
  fix P
  show "enum_class.enum_all P = Ball ?U P" 
    "enum_class.enum_ex P = Bex ?U P" 
    unfolding id enum_all_ty_def enum_ex_ty_def enum_ty_def by auto
  show "distinct (enum_class.enum :: ty list)" unfolding enum_ty_def by auto
qed

---

之后，您的values命令的计算没有问题。

我认为引理是不可证明的，我应该找到另一种方法。但可以证明如下：

lemma test_ex_code [code_abbrev, simp]:
  "Predicate.singleton (λ_. False)
    (Predicate.map (λ_. True) (test_i_o x)) = (∃y. test x y)"
  apply (intro ext iffI)
  unfolding Predicate.singleton_def
  apply (simp_all split: if_split)
  apply (metis SUP1_E mem_Collect_eq pred.sel test_i_o_def)
  apply (intro conjI impI)
  apply (smt SUP1_E the_equality)
  apply (metis (full_types) SUP1_E SUP1_I mem_Collect_eq pred.sel test_i_o_def)
  done

---

有趣的是，引理结构和证明结构似乎独立于具体谓词。我想任何谓词都可能有一个通解。

我认为引理是不可证明的，我应该找到另一种方法。但可以证明如下：

lemma test_ex_code [code_abbrev, simp]:
  "Predicate.singleton (λ_. False)
    (Predicate.map (λ_. True) (test_i_o x)) = (∃y. test x y)"
  apply (intro ext iffI)
  unfolding Predicate.singleton_def
  apply (simp_all split: if_split)
  apply (metis SUP1_E mem_Collect_eq pred.sel test_i_o_def)
  apply (intro conjI impI)
  apply (smt SUP1_E the_equality)
  apply (metis (full_types) SUP1_E SUP1_I mem_Collect_eq pred.sel test_i_o_def)
  done

---

有趣的是，引理结构和证明结构似乎独立于具体谓词。我想任何谓词都可能有一个通用的解决方案。

归纳谓词的参数上的存在量词可以通过引入另一个归纳谓词来执行。例如：

inductive test2_aux where "test x z ==> test2_aux x"
inductive test2 where "~ test2_aux x ==> test2 x"

使用适当的代码pred语句。test2_aux前提下的自由变量z的作用类似于存在变量。由于此转换是规范的，因此code_pred有一个预处理器来执行此操作：

code_pred [inductify] test2 .

---

做这项工作。

归纳谓词参数上的存在量词可以通过引入另一个归纳谓词来执行。例如：

inductive test2_aux where "test x z ==> test2_aux x"
inductive test2 where "~ test2_aux x ==> test2 x"

使用适当的代码pred语句。test2_aux前提下的自由变量z的作用类似于存在变量。由于此转换是规范的，因此code_pred有一个预处理器来执行此操作：

code_pred [inductify] test2 .

---

完成任务。

谢谢您的回答！但我不能将其作为enum的实例，因为它只是一个示例。实际类型不可枚举。我想一个存在可以不用枚举来检查。谢谢你的回答！但我不能将其作为enum的实例，因为它只是一个示例。实际类型不可枚举。我想一个存在可以不用枚举来检查。谢谢！它似乎在没有[icptify]的情况下也能工作。只有在使用原始定义而不使用中间谓词时，才需要使用icptify。事实上，归纳法应该精确地生成中间谓词。谢谢！它似乎在没有[icptify]的情况下也能工作。只有在使用原始定义而不使用中间谓词时，才需要使用icptify。事实上，归纳法应该精确地生成中间谓词。