Isabelle 如何用偏函数证明引理？

你能建议如何证明这个简单引理吗

datatype val = BVal bool | IVal int

lemma the_unif:
"the (x :: val option) = the (y :: val option) ⟹ x = y"
  apply (induct x; induct y)
  apply simp

我试图用归纳法证明它，但我坚持用case

⋀选项None=（某些选项）⟹ 无=某些选项

选项

可以等于

BVal x

或

IVal x

。它永远不会等于无。因此，在这种情况下，假设值总是错误的

更新：

我可以证明以下引理：

lemma the_none_ne_the_some:
  "x ≠ the None ⟹ the None ≠ the (Some x)"
  by simp

lemma the_unif:
  "x ≠ Some (the None) ⟹ y ≠ Some (the None) ⟹ the x = the y ⟹ x = y"
  by (induct x; induct y; simp)

所以我想，第一个引理也可以被证明

一般引理无法被证明，因为它确实不成立：

lemma the_unif:
  "the x = the y ⟹ x = y"

反例：

x = None
y = Some (the None)

但是在第一引理中，

x

和

y

都不能等于

Some（None）

。所以我找不到第一引理的反例

哦，我知道了，我可以证明以下引理：

lemma the_none_ne_the_some:
  "x ≠ the None ⟹ the None ≠ the (Some x)"
  by simp

lemma the_unif:
  "x ≠ Some (the None) ⟹ y ≠ Some (the None) ⟹ the x = the y ⟹ x = y"
  by (induct x; induct y; simp)

但是如何证明

x:：val选项

意味着

x≠ 一些（无）

更新2:

似乎无法证明：

lemma val_not_the_none:
  "x = BVal b ∨ x = IVal i ⟹ x ≠ the None"

---

但是如果引理不成立，那么它们一定有反例？你能提供一个吗？

你试图证明的东西根本站不住脚<代码>无是未指定的–本质上，没有任何非琐碎的东西可以证明。因此，说“它永远不会等于无”是空洞的，因为你不知道无是什么。

我已经为这个问题添加了一个更新。你能建议如何证明

x:：val选项

意味着

x吗≠ 一些（无）

？似乎这实际上是不可能的。。。但在这种情况下，引理必须有一个反例。如果没有，也许可以用矛盾来证明？既没有例子也没有反例。正如我所说，这是未指明的。