Linear programming 如何在混合整数规划中对曼哈顿距离进行编码

让我们有两个点，（x1，y1）和（x2，y2）

dx=| x1-x2|

dy=| y1-y2|

D_曼哈顿=dx+dy，其中dx，dy>=0

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我有点纠结于如何为| x1-x2 |取x1-x2正，大概我引入了一个表示极性的二进制变量，但我不允许将极性开关乘以x1-x2，因为它们都是未知变量，这将导致二次型

如果要最小化

|x |

的递增函数（当然也要最大化递减函数）， lp中任何数量

x

的aboslute值始终可以作为变量

absx

，例如：

absx >= x
absx >= -x

它之所以有效，是因为值

absx

将“趋向”其下限，因此它将达到

x

或

-x

另一方面，如果要最小化

|x |

的递减函数，则问题不是凸的，不能建模为

lp

对于所有这些类型的问题，最好添加一个简化版本的目标问题，因为这通常适用于所有这些建模技术

编辑

我的意思是，这类问题没有通用的解决方案：一般来说，你不能在线性问题中表示一个绝对值，尽管在实际情况下这是可能的

例如，考虑问题：

max y
  y <= | x |
  -1 <= x <= 2
  0 <= y  

如果

x>=0

，则始终验证这些约束，否则执行

ax=-x

：

 ax <= x + M * (1 - sx)
 ax >= x - M * (1 - sx)

 ax <= -x + M * sx
 ax >= -x - M * sx

ax=-x-M*sx

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这是“大M”方法的变体，该方法通常用于线性化二次项。当然，你需要有一个所有可能值的上界

x

（在你的情况下，它将是你的距离值：如果你的点位于某个有界区域，通常情况下就是这样）

实际上，距离只是受约束的，成本函数是间接相关的变量。因此，它是最小值还是最大值还不知道。在这种情况下，如果可能的话，你需要发布你的问题（或者至少是一个简化的版本）：请参阅上面的我的编辑。很抱歉弄乱了！如果距离有界，则二进制变量实际上是可能的，请参见第二次编辑；）哦，是的，这很有效。如果x=-1，那么sx是0。然后我们有：顶部的一对约束变成ax=-1-M，这是真的，底部的一对约束变成ax=1，这是真的，并将ax压缩为1