Logic 布尔算子与归纳

让@表示由下面右侧定义的二进制布尔运算符： p@q=（p^q）

（b） 运算符集{@，，}完整吗？详细解释

（c） 通过归纳法证明，单个命题变量p中仅使用布尔运算符@（或根本不使用运算符）的任何命题公式都是等价的 对真值False或对单个命题变量p。解释。

（b）是

• （p@q）=（p&~q）=~p|q=p->q
• p@~q=p&~q=p&q
• （~p@q）=~（p&~q）=~p | ~~q=p | q

（c） 归纳证明可能如下所示：

基本情况：p相当于p，而p@p是假的，因为p&~p是矛盾的

归纳假设：假设所有长度为k的命题，只包含p和@的运算，要么等价于p，要么等价于False

归纳步骤：每个只包含p和@的命题都可以分解成（（x）@（y））形式的公式，其中x和y是长度小于或等于k的公式。根据归纳假设，x和y都等价于p或False。有四种情况：

• x=p，y=p；那么x@y=假，根据需要
• x=p，y=False；然后x@y=p，根据需要
• x=False，y=p：然后x@y=False，根据需要
• x=False，y=False：然后根据需要x@y=False

在所有四种情况下，我们发现（（x）@（y））必须等于p或False。

（b）是

• （p@q）=（p&~q）=~p|q=p->q
• p@~q=p&~q=p&q
• （~p@q）=~（p&~q）=~p | ~~q=p | q

（c） 归纳证明可能如下所示：

基本情况：p相当于p，而p@p是假的，因为p&~p是矛盾的

归纳假设：假设所有长度为k的命题，只包含p和@的运算，要么等价于p，要么等价于False

归纳步骤：每个只包含p和@的命题都可以分解成（（x）@（y））形式的公式，其中x和y是长度小于或等于k的公式。根据归纳假设，x和y都等价于p或False。有四种情况：

• x=p，y=p；那么x@y=假，根据需要
• x=p，y=False；然后x@y=p，根据需要
• x=False，y=p：然后x@y=False，根据需要
• x=False，y=False：然后根据需要x@y=False

在这四种情况下，我们发现（（x）@（y））必须等于p或False