用Matlab求解微分方程

我需要同时解这两个微分方程

dr^3/dt=(-3*D*Cs)/(ρ*r0^2 )*r*(1-C)

dC/dt=((D*4π*r0*N*(1-C)*r)-(Af*C))/V

注：dr^3/dt是r^3对t的导数

这两个方程类似于微悬浮液溶解过程中颗粒半径（r）和浓度（C）随时间的变化及其在血液中的同时吸收。当固体溶解时，预计会发生的情况是，半径r将减小，浓度C将增加，并最终达到稳定（即达到平衡），因为溶解固体通过该Af*C项（其中Af是某种吸收速率常数）被移到血液中。这些方程式来自于我试图复制的这篇文章：--C随t的变化应该如图3所示（DCU示例）

我做了简化：dr^3/dt=3r^2*（dr/dt）并将方程的两边除以3r^2。颂歌变成：

function dydt=odefcnNY_v3(t,y,D,Cs,rho,r0,N,V,Af)
dydt=zeros(2,1);
dydt(1)=((-D*Cs)/(rho*r0^2*y(1)))*(1-y(2)); % dr*/dt
dydt(2)=(D*4*pi*N*r0*(1-y(2))*y(1)-(Af*y(2)))/V; % dC*/dt
end

是本文中使用的术语，是“标准化”半径和浓度

r*=r/r0 and C*=C/Cs

其中：

• r=粒子半径（随时间变化，用dydt（1）表示）
• r0=初始粒子半径
• C=溶解固体的浓度（随时间变化，用dydt（2）表示）
• Cs=饱和溶解度

代码的其余部分如下。根据作者对论文中使用的值的反馈进行更新，并将初始值修正为y0=[1 0]

我第一次尝试ode45，但代码运行时间很长，最终我出现了一些错误。然后我尝试了ode113，得到了下面的错误

Warning: Failure at t=2.112013e+00.  Unable to meet integration tolerances without reducing the step size below the smallest value allowed (7.105427e-15) at time t.

更新：为解决奇异性问题而更新的函数代码：

结果

模型的机械背景

dr/dt的推导

dC/dt的推导

模型假设

---

在上面，您将看到显示这些方程式推导的幻灯片。他们假设在Noyes-Whitney溶解速率方程中，dM/dt=（为原始形式的半径方程）

d(r^3)/dt = -3K*(r^3)^(1/3)*(1-C)

还是功率降低了一个

dr/dt = -K/r*(1-C)  <==> d(r^2)/dt = -2K*(1-C)

其中，符号函数可以用连续近似代替，如

x/(eps+abs(x)), x/max(eps,abs(x)), tanh(x/eps), ...

或者在简化形式中，奇点可以缓和为

dr/dt = -K*(1-C) * r/(eps^2+r^2)

或者还有其他变化

dr/dt = -K*(1-C) * 2*r/(max(eps^2,r^2)+r^2)

---

应用于此给出的具体案例（使用python而不是matlab）

def odefcnNY（t，y，D，Cs，rho，r0，N，V，Af）：
r、 C=y；
drdt=（-D*Cs）/（rho*r0**2）*（1-C）*r/（1e-6+r**2）；#dr*/dt
dCdt=（D*4*pi*N*r0*（1-C）*r-（Af*C））/V；#dC*/dt
返回[drdt，dCdt]；

考虑到r=0时的近似奇异性，采用隐式方法

D=8.3658e-10#m2/s
rho=1300#kg/m3
r0=10.1e-6；#m dv50
Cs=0.0016；#kg/m3
V=1.5e-6；#m3
W=9e-6；#kg
N=W/（4/3*pi*r0^3*rho）；
Af=0.7e-6/60；#m3/s
tspan=[0,24*3600]；#24小时内秒
y0=[1.0，0.0]；#相对半径从满开始，1.0
sol=solve_ivp（λt，y:odefcnNY（t，y，D，Cs，rho，r0，Af，N，V），tspan，y0，method=“Radau”，atol=1e-14）；
t=sol.t；r，C=sol.y；

然后生成解决方案图

---

现在有了修正的参数，它看起来很接近公布的图表。

原始形式的半径方程

d(r^3)/dt = -3K*(r^3)^(1/3)*(1-C)

还是功率降低了一个

dr/dt = -K/r*(1-C)  <==> d(r^2)/dt = -2K*(1-C)

其中，符号函数可以用连续近似代替，如

x/(eps+abs(x)), x/max(eps,abs(x)), tanh(x/eps), ...

或者在简化形式中，奇点可以缓和为

dr/dt = -K*(1-C) * r/(eps^2+r^2)

或者还有其他变化

dr/dt = -K*(1-C) * 2*r/(max(eps^2,r^2)+r^2)

---

应用于此给出的具体案例（使用python而不是matlab）

def odefcnNY（t，y，D，Cs，rho，r0，N，V，Af）：
r、 C=y；
drdt=（-D*Cs）/（rho*r0**2）*（1-C）*r/（1e-6+r**2）；#dr*/dt
dCdt=（D*4*pi*N*r0*（1-C）*r-（Af*C））/V；#dC*/dt
返回[drdt，dCdt]；

考虑到r=0时的近似奇异性，采用隐式方法

D=8.3658e-10#m2/s
rho=1300#kg/m3
r0=10.1e-6；#m dv50
Cs=0.0016；#kg/m3
V=1.5e-6；#m3
W=9e-6；#kg
N=W/（4/3*pi*r0^3*rho）；
Af=0.7e-6/60；#m3/s
tspan=[0,24*3600]；#24小时内秒
y0=[1.0，0.0]；#相对半径从满开始，1.0
sol=solve_ivp（λt，y:odefcnNY（t，y，D，Cs，rho，r0，Af，N，V），tspan，y0，method=“Radau”，atol=1e-14）；
t=sol.t；r，C=sol.y；

然后生成解决方案图

---

现在有了修正的参数，它看起来与公布的图表很接近。

d（r^3）=3*r^2*dr

，仔细检查方程是否在物理上正确并且正确执行。谢谢-我执行了建议。现在添加的第二个方程中缺少了Af*C项。我做了简化：dr^3/dt=3*r^2*（dr/dt）通过将方程两边除以3*r^2，dydt（1）现在变成：

dydt（1）=（-D*Cs）/（rho*r0^2*y（1））*（1-y（2））；%dr*/dt

这是否正确？代码现在正在运行，似乎需要一段时间！是的，这看起来是正确的。对于可能是僵硬的ODE，请使用一种隐式方法，如

ode113

，该方法也会根据僵硬程度调整方法的顺序。这可能会增加步长，从而加快工作速度。我遇到了以下错误：使用horzca时出错t请求的2x528701600（7.9GB）数组超过了最大数组大小首选项。创建大于此限制的数组可能需要很长时间，并导致MATLAB无响应。有关详细信息，请参阅数组大小限制或首选项面板。ode45（第484行）中的错误yout=[yout，零（neq，块，数据类型）]；谢谢-我已经执行了你提出的建议。

d（r^3）=3*r^2*dr

，仔细检查方程是否在物理上正确且正确执行。谢谢-我执行了建议。现在添加的第二个方程中缺少Af*C项。我做了简化：dr^3/dt=3*r^2*（dr/dt）通过将方程两边除以3*r^2，dydt（1）现在变成：

dydt（1）=（（-D*Cs）/（rho*r0^2*y（1））*（1-y（2））；%dr*/dt

这是正确的吗？代码现在正在运行，似乎需要一段时间！是的，这看起来是正确的。对于可能很僵硬的ODE，使用一种隐式方法，例如

ode113