Matlab 零附近两个数学上相同的表达式的精度误差

当绘制两个非常接近于零的数学等价表达式时，我们会得到两个类似的结果，但其中一条曲线有台阶，而不是平滑的

1-cosh(x) == -2*sinh(x/2)^2

现在，快速观察表明，台阶的高度确实等于Matlab的精度，即变量

eps=2.2204e-16=2^-52

这张图的名字是“零和”，显然不是指零和游戏。但显然，只有当加法（或减法）的结果非常接近于零时，才会出现这种情况

然而，据我所知，使用浮点数（或双精度）进行的计算在精度上是相似的，无论计算的规模如何。所以，我认为只有当一些非常大的东西被一些非常小的东西操作时，错误才会蔓延，在这种情况下，较小的数字会被四舍五入

Matlab代码来重现这一点：

x = linspace(-5*10^-8, 5*10^-8, 1001);
y1 = @(x) 1 - cosh(x);
y2 = @(x) -2*(sinh(x/2)).^2;

plot(x,y1(x),'k',x,y2(x),'r')
legend('1-cosh(x)', '-2sinh(x/2)^2')

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有人能解释一下这是怎么回事吗。。有效？

舍入发生在

cosh

函数中。如果以相同的比例绘制并放大图形，将看到相同的楼梯效果，但以y轴上的1为中心

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这是因为不能使用双精度表示这些中间值

你忘记了，

cosh

和

sinh

实际上是近似于实连续函数的数值函数，但浮点数的全部目的不是在任何尺度上吗？IEEE 754标准将双精度的指数部分的位计数定义为11位，这足以表示十进制中的16个零。那么，如果double不能区分这些小的数字，为什么sinh函数没有步骤呢？事实上，你可以表示1e-100，但不能表示1+1e-100，这就是接近0的

cosh

的结果。这个数字被四舍五入到16位，得到1.000000000000001或类似的数字。然后你减去1.A-HA！所以我只是想错了！非常感谢你：D@Felix换句话说，IEEE 754标准以任何尺度表示它们，而不是以任何精度表示它们是的，这就是我所想的，但不知何故我没能得到，当然1将决定尺度。