Matlab ifft和使用方波之和而不是正弦波之和重建信号

我知道ifft从对信号进行fft得到的数据中求和多个正弦波。是否有一种方法可以使用方波而不是正弦波进行ifft？
我不是想把原始信号拿回来，而是想用fft数据中的方波来重建它，而不是正常的正弦波求和过程

请看下面的简单示例：我将使用的信号是大约60秒长的人类音频信号，因此我尝试看看是否可以以某种方式使用/更改ifft命令

PS：我使用的是类似于Matlab的倍频程4.0

clear all,clf reset, clc,tic
Fs = 200; % Sampling frequency
t=linspace(0,1,Fs);
freq=2;

%1 create signal
ya = .5*sin(freq*pi*2*t+pi); 

%2 create frequency domain
ya_fft = fft(ya);

%3 rebuild signal
mag = abs(ya_fft);
phase = unwrap(angle(ya_fft));
ya_newifft=ifft(mag.*exp(i*phase));
ifft_sig_combined_L1=ifft(mag.*exp(i*phase),Fs); %use Fs to get correct file length

% square wave
vertoffset=0.5;
A=1
T = 1/freq; % period of the signal
square = mod(t * A / T, A) > A / 2;
square = square - vertoffset;

subplot(3,1,1);
plot(t,ya,'r')
title('orignal signal')

subplot(3,1,2);
plot(t,ifft_sig_combined_L1)
title('rebuilt signal')

subplot(3,1,3);
plot(t,square)
title('rebuilt signal with square wave')

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定义要使用的基向量，让它们成为矩阵a的列。如果b是信号，则只需获得Ax=b的最小二乘解。如果A是满秩，那么您将能够准确地表示b

编辑：

想想矩阵向量积的作用：矩阵的每一列乘以向量的相应元素（即，矩阵的第n列乘以向量的第n元素），所得的乘积相加。（如果该站点支持latex，那么说明起来就容易多了。）在Matlab中，一种可怕但希望能说明这一点的方法是

A = some_NxN_matrix;
x = some_Nx1_vector;
b = zeros( size(A,1), 1 );
for n = 1 : length(x)
  b = b + A(:,n) * x(n);
end

（当然，您永远不会真正执行上述操作，而是

b=A*x；

）

现在定义要使用的任何方波，并将每个方波指定给其自己的Nx1向量。将这些向量称为s_1，s_2，…，s_M，其中M是使用的方波数。现在让我们

A = [s1, s2, ..., s_M];

根据你的问题，你想把你的信号表示为这些方波的加权和。（请注意，这正是DFT所做的，它只使用正交正弦波而不是方波。）要对这些方波进行加权和，只需找到矩阵向量积

a*x

，其中

x

是对每列进行加权的系数向量（见上段）。现在，如果你的信号是

b

，你想找到能最好地求和方波的

x

，以近似

b

，那么你所要做的就是求解

A*x=b

。在Matlab中，这是由

x = A \ b;

剩下的只是线性代数。如果

a

的左逆存在（即，如果

a

的维数为M x N，秩为N，且M>N），则

（a^-1）*a

为单位矩阵，且

(A^-1) * A * x = (A^-1) * b,

这意味着

x=（A^-1）*b

，这就是

x=A\b将在Matlab中返回。如果
A
的维数为M x N，秩为M，且N>M，则系统未充分确定，且不存在左逆。在这种情况下，必须使用psuedo逆解来求解系统。现在假设
A
是秩为N的NxN，因此左逆和右逆都存在。在这种情况下，
x
将给出
b
的精确表示：

x = (A^-1) * b
A * x = A * (A^-1) * b = b

如果您想要一个使用方波获得输入信号精确表示的
A
示例，请查看Haar变换。有一个可用的功能。
请参阅：？感谢您的回复，但您是否有一个示例？另外，这对我来说没有任何意义……
“如果A是满秩，那么您将能够准确地表示b。”