Neural network 如何使用神经网络解决偏微分方程？

我试图寻找这个问题的简单答案，但所有的解释都是针对能够理解数值方法和偏微分方程的人。我有计算机科学背景，所有的论文都像行话。我学习并使用机器学习算法处理与图像或正常表格数据（具有输入特征和目标类）相关的分类和回归问题。我也使用了神经网络，但只是作为一个黑匣子，在给定一些输入的情况下产生所需的输出，并调整参数以获得最佳精度

我不明白，给定一个要求解的偏微分方程，当用一些例子训练神经网络时，神经网络的输入是什么？在机器学习语言中，有哪些示例和输入特性？参数是什么

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理解这一点的任何帮助都将不胜感激。

这当然取决于PDE的类型。许多PDE描述了空间分布系统随时间的演化。这种系统的状态由一个值v（x，t）定义，该值取决于空间变量x，该变量通常是一个向量，时间t。值本身也可以是向量

学习样本可以由初始条件的离散值v\u i_0（x\u i，0）和以后的值v\u i_j（x\u i，t_j）组成。初始值作为输入呈现给网络。随后，将（循环）网络在稍后时间t_j的输出与样本值进行比较，以计算误差

由于偏微分方程通常在空间上是均匀的，所以在这里使用循环卷积网络是有意义的。这与图像处理中经常使用的类型相同

卷积核的大小取决于PDE中空间导数的程度：

对于值v的每个分量，网络需要至少有一层。可能需要额外的隐藏层，尤其是当PDE具有更高的时间导数时

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这是对一个复杂问题的一个非常简短的回答，但我希望它能为您指明正确的方向。我也知道我使用了som PDE术语，但我试图将其减少到绝对最小值。

虽然您已经有了一般答案，但我可以提供一些可能有用的链接：

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非常感谢，在做了更多的研究并阅读了您的答案之后，事情开始变得有意义了。你能用一个简单的偏微分方程解释“v值的每个分量至少有一层”吗？我还有一个相关的问题：我从许多文章中了解到，维度诅咒是解决偏微分方程的一个问题。我认为他们指的是大量的学习样本？我说的对吗？关于层数：如果PDE的状态是由向量描述的，例如流体的速度分量，则需要x、y和z分量的层。至少假设一个单元的输出是一个数字，通过使用卷积神经网络，可以大大减少可变权重的数量。这意味着您还可以减少培训数据量。在某些情况下，您可以通过在单个初始条件下训练网络，并在t的几个值处给出预期状态，从而获得良好的结果。