Python 使用scipy.optimize.curve_拟合权重

根据，参数

sigma

可用于设置拟合中数据点的权重。当参数

绝对值\u sigma=True

时，这些“描述”1-sigma错误

我有一些关于人工正态分布噪声的数据，这些噪声会发生变化：

n = 200
x = np.linspace(1, 20, n)
x0, A, alpha = 12, 3, 3

def f(x, x0, A, alpha):
    return A * np.exp(-((x-x0)/alpha)**2)

noise_sigma = x/20
noise = np.random.randn(n) * noise_sigma
yexact = f(x, x0, A, alpha)
y = yexact + noise

如果我想使用

曲线拟合
将嘈杂的
y
拟合到
f
，我应该将
sigma
设置为什么？这里的文档不是很具体，但我通常使用
1/noise\u sigma**2
作为权重：

p0 = 10, 4, 2
popt, pcov = curve_fit(f, x, y, p0)
popt2, pcov2 = curve_fit(f, x, y, p0, sigma=1/noise_sigma**2, absolute_sigma=True)

不过，这似乎并没有太大的改善


该选项是否仅用于通过协方差矩阵更好地解释拟合不确定性？这两个人告诉我的有什么不同

In [249]: pcov
Out[249]: 
array([[  1.10205238e-02,  -3.91494024e-08,   8.81822412e-08],
       [ -3.91494024e-08,   1.52660426e-02,  -1.05907265e-02],
       [  8.81822412e-08,  -1.05907265e-02,   2.20414887e-02]])

In [250]: pcov2
Out[250]: 
array([[ 0.26584674, -0.01836064, -0.17867193],
       [-0.01836064,  0.27833   , -0.1459469 ],
       [-0.17867193, -0.1459469 ,  0.38659059]])

至少对于scipy版本1.1.0，参数
sigma
应等于每个参数的误差。具体地说，报告说：

1-d西格玛应包含误差的标准偏差值
伊达塔。在这种情况下，优化的函数是chisq=sum（（r/sigma）
**(二)

在您的情况下，这将是：

curve_fit(f, x, y, p0, sigma=noise_sigma, absolute_sigma=True)

我仔细查看了代码，并验证了当您以这种方式指定sigma时，它会最小化
（（f-data）/sigma）**2

作为旁注，当您知道错误时，这通常是您希望最小化的。给定模型的观测点
数据
的可能性如下所示：

L(data|x0,A,alpha) = product over i Gaus(data_i, mean=f(x_i,x0,A,alpha), sigma=sigma_i)

如果取负对数，则变为（不取决于参数的常数因子）：

这正是问题所在

我编写了一个测试程序来验证
曲线拟合
确实返回了正确的值，并且正确指定了sigma：

from __future__ import print_function
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit, fmin

np.random.seed(0)

def make_chi2(x, data, sigma):
    def chi2(args):
        x0, A, alpha = args
        return np.sum(((f(x,x0,A,alpha)-data)/sigma)**2)
    return chi2

n = 200
x = np.linspace(1, 20, n)
x0, A, alpha = 12, 3, 3

def f(x, x0, A, alpha):
    return A * np.exp(-((x-x0)/alpha)**2)

noise_sigma = x/20
noise = np.random.randn(n) * noise_sigma
yexact = f(x, x0, A, alpha)
y = yexact + noise

p0 = 10, 4, 2

# curve_fit without parameters (sigma is implicitly equal to one)
popt, pcov = curve_fit(f, x, y, p0)
# curve_fit with wrong sigma specified
popt2, pcov2 = curve_fit(f, x, y, p0, sigma=1/noise_sigma**2, absolute_sigma=True)
# curve_fit with correct sigma
popt3, pcov3 = curve_fit(f, x, y, p0, sigma=noise_sigma, absolute_sigma=True)

chi2 = make_chi2(x,y,noise_sigma)

# double checking that we get the correct answer
xopt = fmin(chi2,p0,xtol=1e-10,ftol=1e-10)

print("popt  = %s, chi2 = %.2f" % (popt,chi2(popt)))
print("popt2 = %s, chi2 = %.2f" % (popt2, chi2(popt2)))
print("popt3 = %s, chi2 = %.2f" % (popt3, chi2(popt3)))
print("xopt  = %s, chi2 = %.2f" % (xopt, chi2(xopt)))

哪些产出：

popt  = [ 11.93617403   3.30528488   2.86314641], chi2 = 200.66
popt2 = [ 11.94169083   3.30372955   2.86207253], chi2 = 200.64
popt3 = [ 11.93128545   3.333727     2.81403324], chi2 = 200.44
xopt  = [ 11.93128603   3.33373094   2.81402741], chi2 = 200.44

正如您所见，当您指定
sigma=sigma
作为曲线拟合的参数时，chi2确实被正确地最小化

至于为什么改进不是“更好”，我不太确定。我唯一的猜测是，如果不指定sigma值，您会隐式地假设它们相等，并且在拟合重要的数据部分（峰值），误差“近似”相等

要回答你的第二个问题，不，西格玛选项不仅用于改变协方差矩阵的输出，它实际上改变了最小化的内容。
当你说它似乎没有多大改善拟合时，你期望看到什么？成群的角马雄伟地横扫平原。否则，我认为rms拟合残差在“有西格玛”的情况下会更好，但更糟（0.64 vs 1.07）。但是，未加权的算法不是使rms最小化了吗（回想一下我做了很多曲线拟合时记忆模糊的日子）？在这种情况下，权重肯定只会增加它？您告诉它“不要太担心这里的这些点，即使以总体rms为代价，也要更好地拟合这些其他点”注意：R的nls需要权重，看起来Python的
sigma
对应于nls权重的平方根。为什么sigma=noise？@KornpobBhirombhakdi如果你知道噪声项，那么你可以从数据中减去它，得到一个完美的信号，你甚至不需要拟合任何东西。对于实际数据，您通常知道误差的标准偏差，但不知道每个数据点的实际误差，这就是您拟合的原因。
popt  = [ 11.93617403   3.30528488   2.86314641], chi2 = 200.66
popt2 = [ 11.94169083   3.30372955   2.86207253], chi2 = 200.64
popt3 = [ 11.93128545   3.333727     2.81403324], chi2 = 200.44
xopt  = [ 11.93128603   3.33373094   2.81402741], chi2 = 200.44