Python 了解使用二分法寻找解决方案的迭代次数

我被要求使用二分法找到一个方程的根，对于Python 3中的循环，我只需要

。thread显示了如何使用该方法，但没有说明
range（）
中的数字

作为一个例子，我有这个函数

f（x）=x2-2*x-3

我想找到它的负根，从区间[-4，1]开始

我设法用一个
for
循环来编写函数，但我不知道应该使用哪个范围，或者如何使用它

以下是解决问题的代码：

...
a = -4
b = 1
c = (a + b)/2

for i in range(1000):
    if f(c) == 0:
        break
    if f(a) * f(c) < 0:
        b = c
    elif f(a) * f(c) > 0:
        a = c
    c = (a + b) / 2

return c, f(c), i

。。。
a=-4
b=1
c=（a+b）/2
对于范围（1000）内的i：
如果f（c）==0：
打破
如果f（a）*f（c）<0：
b=c
elif（a）*f（c）>0：
a=c
c=（a+b）/2
返回c，f（c），i

c=-1（找到负根），f（c）=0确认程序工作，i=52表示在52次对分“尝试”后，它找到了正确答案

我在
range（）
中输入了一个非常大的数字，以确保找到了根，但为什么它只需要52次迭代

另外，如果我的间隔改为[-2,1]，我需要53次尝试为什么会这样？
每次迭代都会将搜索间隔缩短一半。在每次迭代中，检查中点处的函数值f（c）是否在计算机浮点表示的精度范围内为0

如果你选择区间[-101，99]，你只需要一次迭代就可以得到解，当你点击c=-1的时候。只要程序足够接近实际根，并且计算值达到0.000000，程序就会停止

您从宽度为5的范围开始。5除以2，52是多少？在您的实现中，浮点数的精度是多少？我敢打赌，你已经接近两个浮点数之间的最小差值了

如果您真的想看到这一点，请在循环的顶部添加一条简单的线：

print a, b, c, f(c)

这将向您显示查找根的进度

打印语句是跟踪程序的一种低技术、有效的方法

评论回复

很好的一点是：我还没有把具体的情况说得够清楚

您完成了52次迭代，因为这是程序“偶然”发现正确值所花费的时间。当你改变并在53次迭代中以较小的范围完成它时。。。最简单的方法就是说你第一次有点幸运。正如我所指出的，如果你从以-1为中点的东西开始，比如[-101，99]，那么你将只在一次迭代中完成，尽管间隔要大得多。
如果你在循环中打印（[a，b]）

，你可以看到范围的变化：

[-4, 1]
[-1.5, 1]
[-1.5, -0.25]
[-1.5, -0.875]
[-1.1875, -0.875]
[-1.03125, -0.875]
...
...
...
[-1.0000000000000284, -0.9999999999999929]
[-1.0000000000000107, -0.9999999999999929]
[-1.0000000000000018, -0.9999999999999929]
[-1.0000000000000018, -0.9999999999999973]
[-1.0000000000000018, -0.9999999999999996]
[-1.0000000000000007, -0.9999999999999996]

计算出的-1.0000000000000007和-0.9999999996的平均值正好是-1。为什么？因为你们已经达到了浮动所能代表的极限。以下是所涉及的精确值：

>>> '%.60f' % -1.0000000000000007
'-1.000000000000000666133814775093924254179000854492187500000000'

>>> '%.60f' % -0.9999999999999996
'-0.999999999999999555910790149937383830547332763671875000000000'

>>> '%.60f' % (-1.0000000000000007 + -0.9999999999999996)
'-2.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'

>>> '%.60f' % ((-1.0000000000000007 + -0.9999999999999996) / 2)
'-1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'

浮动存储，表示在前导1位之后52位。这意味着你失去的东西比你价值的1/252小。经过52步后，您最初的尺码范围已变为5/252左右。这大约是你价值的1/252-1。所以在那个里，你们有一个很好的机会，因为不精确，恰好碰到-1

它可能需要两到三个步骤，因为5/252仍然比1/252大一点。你很幸运。用你的另一个初始范围

[-2,1]

你就没那么幸运了。在那里，在到达-1之前，您的范围将缩小到

[-1.0000000000000002，-0.99999999999999]

如果您从

[-4000000，1]

开始，则需要72个步骤。因为初始范围是100万倍大，大约是220，所以要多走20步

---

另一种情况：如果使用函数

x**2-1000000

和初始范围

[999.3，1000.3]

，则需要41个步骤。为什么？最终值（即根）为1000，初始范围大小为1。这是1/1000，所以大约是1/210。因此，要达到1/252，你只需要大约42个二等分。

你至少读过二等分方法背后的理论吗，或者换句话说，你知道你的代码发生了什么吗？嗯，你链接到的页面上的公认答案确实使用了for循环，不是吗？投票结束这个问题的人根本不理解这个主题。他/她问的问题很清楚。顺便说一句，一般来说，你不应该检查这个条件

f（c）==0

，而应该检查

f（c）

是否足够接近零，即类似于

f（c）<1e-09

。这是因为当使用浮点数时，会出现“舍入”错误，即使用浮点数进行计算时会失去精度，因为计算机的有限性…@nbro你完全正确，通常我使用math.isclose（）来实现这一点，但在这种情况下，我被迫避免使用更复杂的函数。我试着按照你的建议去做（第一个条件f（c）<0.000000001），但是我得到了c=-0.25，这让我更加困惑！这并不能真正解释它的特殊情况，但它只是对该方法的一般性解释，而不是OP所要求的。谢谢，我确实注意到，对于以零为中点的区间，我只需要1次迭代（第一个条件第一次为真）。虽然我从表面上理解了这个方法，以及为什么它最终会起作用，但我仍然不明白为什么在这个例子中52是答案，或者在我提到的另一个时间间隔中53是答案。我猜这与Python上浮点运算的有限精度有关，但准确程度如何？这是一个纯对分何时足够接近实际根的问题，您可以在选择的答案中看到。这正是我想要理解的！！在看到您的答案后，我重新阅读了Python教程（15），并对其进行了分析