如何在Python中进行指数和对数曲线拟合？我发现只有多项式拟合

我有一组数据，我想比较哪一行最能描述它（不同阶数的多项式，指数或对数）

我使用Python和Numpy，对于多项式拟合，有一个函数

polyfit（）

。但我没有发现这样的指数和对数拟合函数

有吗？或者如何解决它？

对于拟合y=A+B对数x，只需将y与（对数x）拟合即可

---

对于拟合y=AeBx，取两边的对数，得到log y=log A+Bx。因此，将（对数y）与x进行拟合

请注意，线性拟合（对数y）将强调y的小值，从而导致大y的大偏差。这是因为

polyfit

（线性回归）通过最小化∑i（ΔY）2=∑一(易)− Ŷi）2。当Yi=log Yi时，残留物ΔYi=Δ（log Yi）≈ Δyi/| yi |。因此，即使

polyfit

对大y做出了非常糟糕的决定，“除以-| y |”因子也会对其进行补偿，从而导致

polyfit

偏向小值

这可以通过给每个条目一个与y成比例的“权重”来缓解

polyfit

通过

w

关键字参数支持加权最小二乘法

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

请注意，Excel、LibreOffice和大多数科学计算器通常对指数回归/趋势线使用未加权（有偏）公式。如果您希望结果与这些平台兼容，请不要包含权重，即使它提供了更好的结果

---

现在，如果您可以使用scipy，那么您可以使用它来拟合任何模型，而无需进行转换

对于y=A+B log x，结果与转换方法相同：

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

然而，对于y=AeBx，我们可以得到更好的拟合，因为它直接计算Δ（logy）。但我们需要提供一个初始化猜测，以便

曲线拟合

能够达到所需的局部最小值

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

---

您还可以使用

scipy.optimize中的
curve\u fit
将一组数据拟合到您喜欢的任何函数。例如，如果要拟合指数函数（从中）：

如果你想绘图，你可以：

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

（注意：绘图时，
popt
前面的
*
会将术语展开为
a
、
b
和
c
，这是
func
所期望的。）
我在这方面遇到了一些问题，所以让我非常明确，这样像我这样的人都能理解

假设我们有一个数据文件或类似的东西

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

结果是：
a=0.849195983017，b=1.18101681765，c=2.24061176543，d=0.816643894816

我想您可以随时使用：

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2


稍微修改：

这将导致以下图表：

这里有一个简单数据选项，它使用来自的工具

给定的

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)


代码

拟合指数数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()


拟合日志数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()



详细信息

一般步骤

将日志操作应用于数据值（
x
、
y
或两者）
将数据回归到线性化模型
通过“反转”任何日志操作（使用
np.exp（）
）进行绘图，并与原始数据相匹配
假设我们的数据遵循指数趋势，一般方程+可能是：


我们可以通过以下公式将后一个方程线性化（例如y=截距+斜率*x）：


给定线性化方程++和回归参数，我们可以计算：


A
通过截获（
ln（A）
）
B
通过坡度（
B
）

线性化技术综述

+注：当噪声较小且C=0时，线性化指数函数效果最佳。小心使用

++注：改变x数据有助于指数数据线性化，改变y数据有助于对数数据线性化。
我们在解决这两个问题时演示了的功能

给定的

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

代码

方法1-
lmfit
模型

拟合指数数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()


方法2-自定义模型

拟合日志数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()



详细信息

选择一个回归类
提供命名的、与函数域相关的初始猜测
可以从回归器对象确定推断参数。例如：

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

要执行此操作，请使用
ModelResult.eval（）
方法

model = results.eval
y_pred = model(x=np.array([1.5]))

注意：
ExponentialModel（）
遵循一个参数，它接受两个参数，其中一个是负数


另请参见接受的
ExponentialGaussianModel（）

通过
>pip安装lmfit的库
Wolfram提供了一个用于的封闭式解决方案。它们也有类似的解决方案来安装和

我发现这比scipy的曲线拟合更有效。尤其是当你没有“接近零”的数据时。以下是一个例子：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()

@Tomas：对。更改log的基数只需将一个常量乘以logx或logy，这不会影响r^2。这将使较小y处的值具有更大的权重。因此，最好通过y_i对卡方值的贡献进行加权。该解决方案在传统意义上的曲线拟合中是错误的。它不会最小化线性空间中残差的平方和，而是在对数空间中。如前所述，这有效地改变了点的权重——
y
较小的观测值将被人为地加重。最好定义函数（线性，而不是对数变换）并使用曲线拟合器或最小化器。@santon解决了指数回归中的偏差问题。感谢您添加权重！许多/大多数人都不知道，如果您尝试只获取日志（数据）并在其中运行一行（如Excel），可能会得到非常糟糕的结果。就像我多年来一直在做的那样。当我的老师给我看这个的时候，我
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()