Python Can'；使用scipy.signal.welch无法找到正确的能量

对于给定的离散时间信号

x（t）

，间隔

dt

（等于

1/fs

，

fs

为采样率），能量为：

E[x(t)] = sum(abs(x)**2.0)/fs

然后我做一个

x（t）

的DFT：

再次计算能量：

E[x_tf] = sum( abs( x_tf ) ** 2.0 ) * fs * 2 * np.pi / N

（这里的系数

fs*2*np.pi/N

=脉动间隔

dk

，

fftfreq

的文档提供了关于频域间隔的更多细节），我具有相同的能量：

E[x(t)] = E[x_tf]

但是。。。当我使用

scipy.signal.welch

计算

x（t）

的功率谱密度时，我找不到正确的能量

scipy.signal.welch

返回频率

f

和能量

Pxx

（或每个频率的能量，取决于我们在

scipy.signal.welch

的参数中输入的

scaling

）

如何使用

Pxx

找到与

E[x（t）]

或

E[x_tf]

相同的能量？我试图计算：

E_psd = sum(Pxx_den) / nperseg

其中，

nperseg

是韦尔奇算法每段的长度，

fs

和

np.sqrt（2*np.pi）

等因子被抵消，并用

nperseg

重新缩放E[x（t）]，但没有任何成功（数量级小于

E[x（t）]

）

我使用以下代码生成信号：

#Generate a test signal, a 2 Vrms sine wave at 1234 Hz, corrupted by 0.001 V**2/Hz of white noise sampled at 10 kHz.

fs = 10e3   #sampling rate, dt = 1/fs
N = 1e5
amp = 2*np.sqrt(2)
freq = 1234.0
noise_power = 0.001 * fs / 2
time = np.arange(N) / fs
x = amp*np.sin(2*np.pi*freq*time)
x += np.random.normal(scale=np.sqrt(noise_power), size=time.shape)

为了得到功率谱密度，我做了以下工作：

f, Pxx_den = signal.welch(x, fs )

---

解决这一明显差异的办法在于认真理解和应用

• 连续与离散傅里叶变换，以及
• 给定信号的能量、功率和功率谱密度

我也一直在为这个问题苦苦挣扎，所以我将在下面的讨论中尽量明确

离散傅里叶变换（DFT） 满足某些可积条件的连续信号x（t）具有傅里叶变换x（f）。然而，当使用离散信号x[n]时，通常使用离散时间傅里叶变换（DTFT）。我将DTFT表示为X{dt}（f），其中

dt

等于相邻样本之间的时间间隔。回答您的问题的关键要求您认识到DTFT不等于相应的傅里叶变换！事实上，这两者是相互关联的

X{dt}（f）=（1/dt）*X（f）

此外，离散傅里叶变换（DFT）只是DTFT的离散样本。当然，DFT是Python在使用

np.fft.fft（…）

时返回的。因此，计算出的DFT不等于傅里叶变换

功率谱密度

scipy.signal.welch（…，scaling='density'，…）

返回离散信号x[n]的估计值。对PSD的全面讨论有点超出了本文的范围，但是对于简单的周期信号（例如在您的示例中），PSD S_{xx}（f）给出如下

S{xx}=|X（f）^2/T

式中，| X（f）|是信号的傅里叶变换，T是信号的总持续时间（时间）（如果你的信号X（T）是一个随机过程，我们必须对系统的许多实现进行集合平均…）。信号中的总功率只是系统频带上S_{xx}的积分。使用上面的代码，我们可以编写

import scipy.signal

# Estimate PSD `S_xx_welch` at discrete frequencies `f_welch`
f_welch, S_xx_welch = scipy.signal.welch(x, fs=fs)

# Integrate PSD over spectral bandwidth
# to obtain signal power `P_welch`
df_welch = f_welch[1] - f_welch[0]
P_welch = np.sum(S_xx_welch) * df_welch

要联系您的

np.fft.fft（…）

计算（返回DFT），我们必须使用上一节中的信息，即

X[k]=X_{dt}（f_k）=（1/dt）*X（f_k）

因此，要从FFT计算中计算功率谱密度（或总功率），我们需要认识到

S{xx}=|X[k]^2*（dt^2）/T

p_welch

和

p_fft

的值应该非常接近，并且接近信号中的预期功率，可以计算为

# Power in sinusoidal signal is simply squared RMS, and
# the RMS of a sinusoid is the amplitude divided by sqrt(2).
# Thus, the sinusoidal contribution to expected power is
P_exp = (amp / np.sqrt(2)) ** 2 

# For white noise, as is considered in this example,
# the noise is simply the noise PSD (a constant)
# times the system bandwidth. This was already
# computed in the problem statement and is given
# as `noise_power`. Simply add to `P_exp` to get
# total expected signal power.
P_exp += noise_power

注意：

p_welch

和

p_fft

将不完全相等，甚至在数值精度范围内也可能不相等。这是由于功率谱密度估计存在随机误差。为了减少此类错误，Welch的方法将信号分成若干段（其大小由

nperseg

关键字控制），计算每个段的PSD，并对PSD进行平均，以获得更好的信号PSD估计值（平均的段越多，产生的随机误差越小）。实际上，FFT方法相当于只对一个大段进行计算和平均。因此，我们期望

P_-welch

和

P_-fft

之间存在一些差异，但我们应该期望

P_-welch

更准确

信号能量 正如你所说的，信号能量可以从帕塞瓦尔定理的离散版本中获得

# Energy obtained via "integrating" over time
E = np.sum(x ** 2)

# Energy obtained via "integrating" DFT components over frequency.
# The fact that `E` = `E_fft` is the statement of 
# the discrete version of Parseval's theorem.
N = len(x)
E_fft = np.sum(np.abs(Xk) ** 2) / N

我们现在想了解上面通过

scipy.signal.welch（…）

计算的

sxx_welch

与信号中总能量

E

的关系。从上面看，

S_xx_fft=（（np.abs（Xk）**dt）**2）/T

。重新排列这个表达式中的术语，我们可以看到

np.abs（Xk）**2=（T/（dt**2））*S_xx_fft

。此外

从上面我们知道，

np.sum（S_xx_fft）=p_fft/df_fft

，并且

p_fft

和

p_welch

近似相等。此外，

P_-welch=np.sum（S_xx_-welch）/df_-welch

，因此我们得到

np.sum（S_xx_fft）=（df_welch/df_fft）*np.sum（S_xx_welch）

此外，

S_xx_fft=（（np.abs（Xk）**dt）**2）/T

。将

sxx_fft

代入上述方程并重新排列项，我们得到

np.sum（np.abs（Xk）**2）=（T/（dt**2））*（df_-welch/df_-fft）*np.sum（S_-xx_-welch）

上述方程式中的左侧（LHS）现在看起来应该非常接近于计算出的fr信号中总能量的表达式

# Power in sinusoidal signal is simply squared RMS, and
# the RMS of a sinusoid is the amplitude divided by sqrt(2).
# Thus, the sinusoidal contribution to expected power is
P_exp = (amp / np.sqrt(2)) ** 2 

# For white noise, as is considered in this example,
# the noise is simply the noise PSD (a constant)
# times the system bandwidth. This was already
# computed in the problem statement and is given
# as `noise_power`. Simply add to `P_exp` to get
# total expected signal power.
P_exp += noise_power

# Energy obtained via "integrating" over time
E = np.sum(x ** 2)

# Energy obtained via "integrating" DFT components over frequency.
# The fact that `E` = `E_fft` is the statement of 
# the discrete version of Parseval's theorem.
N = len(x)
E_fft = np.sum(np.abs(Xk) ** 2) / N

# Signal energy from Welch's PSD
E_welch = (1. / dt) * (df_welch / df_fft) * np.sum(S_xx_welch)