Python 在FiPy中使用扫描函数时的解算器公差和残余误差

我正试图使用FiPy解决一组PDE，这时我意识到sweep命令的工作方式与我想象的不一样。下面是我的部分代码示例：

from pylab import *
import sys
from fipy import *

viscosity = 5.55555555556e-06 

Pe =5.

pfi=100.
lfi=0.01

Ly=1.
Nx =200
Ny=100
Lx=Ly*Nx/Ny
dL=Ly/Ny
mesh = PeriodicGrid2DTopBottom(nx=Nx, ny=Ny, dx=dL, dy=dL)

x, y = mesh.cellCenters

xVelocity = CellVariable(mesh=mesh, hasOld=True,  name='X velocity')

xVelocity.constrain(Pe, mesh.facesLeft)
xVelocity.constrain(Pe, mesh.facesRight)

rad=0.1

var1 = DistanceVariable(name='distance to center', mesh=mesh, value=numerix.sqrt((x-Nx*dL/2.)**2+(y-Ny*dL/2.)**2))

pi_fi= CellVariable(mesh=mesh, value=0.,name='Fluid-interface energy map')
pi_fi.setValue(pfi*exp(-1.*(var1-rad)/lfi), where=(var1 > rad) )
pi_fi.setValue(pfi, where=(var1 <= rad))

xVelocityEq = DiffusionTerm(coeff=viscosity) - ImplicitSourceTerm(pi_fi)

xres=10.
while (xres > 1.e-6) :
        xVelocity.updateOld()
        mySolver = LinearGMRESSolver(iterations=1000,tolerance=1.e-6)
        xres = xVelocityEq.sweep(var=xVelocity,solver=mySolver)
        print 'Result = ', xres
#Thats it

如您所见，while循环在两次迭代后结束。我的第一个问题是：为什么我的第一个剩余误差（=0.0007856742013190237）高于解算器的容差？我认为，由于xVelocityEq对应于一个线性系统，解算器公差和剩余误差的含义是相同的。

如果我将mySolver中的迭代次数从1000增加到10000，我将得到以下输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  2.4619110931978988e-09

Result =  0.0007856742013190237
Result =  6.414470433257661e-07

既然第一个残差保持不变，为什么第二个残差会发生变化？

如果我将mySolver中的容差从1.e-6增加到7.e-4，我将得到以下输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  2.4619110931978988e-09

Result =  0.0007856742013190237
Result =  6.414470433257661e-07

请注意，这些残差与第一次输出中的残差相同。现在，如果我尝试将公差进一步增加到8.e-4，以下是我得到的输出：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
Result =  0.0007856742013190237
...

在这一点上，我完全迷路了为什么残差对于小于7.e-4的所有解算器公差具有相同的值？对于高于7.e-4的解算器公差，为什么这些残差是常数并等于0.0007856742013190237？

如果我将mySolver更改为LinearLUSolver（迭代次数=1000，容差=1.e-6），我得到的结果如下：

Result =  0.0007856742013190237
Result =  1.6772757200988522e-18

为什么我的第一个残差与以前一样，即使我已经更改了解算器？

为什么我的第一个剩余误差（=0.0007856742013190237）高于解算器的公差

调用解算器以计算新的解向量之前，将计算由

.sweep（）

计算的残差。矩阵L和右侧向量b基于解向量x的初始值进行计算

残差是当前解向量满足非线性偏微分方程的程度的度量。解算器公差限制了解算器在满足从PDE离散的线性方程组时的工作强度

即使PDE是线性的（例如，扩散系数不是解变量的函数），初始值也可能无法解PDE，因此残差很大。调用解算器后，x应在解算器公差范围内解算PDE。如果偏微分方程是非线性的，那么线性代数的良好收敛解可能仍然不是偏微分方程的好解；这就是扫地的目的

我认为，由于xVelocityEq对应于一个线性系统，解算器公差和剩余误差将意味着相同的事情

跟踪这两个方面是没有任何用处的。除了解算前的残差和用于终止解算的解算器公差外，还可以使用不同的规格化，并且许多解算器文档可能有点粗略。FiPy使用|Lx-b|u2作为其残差。解算器可以通过b的大小、L的对角线或月亮的相位进行归一化，所有这些都会导致很难直接将残差与公差进行比较

既然第一个保持不变，为什么第二个残差会发生变化

通过允许1000次迭代而不是100次迭代，解算器能够驱动到更精确的公差，这反过来又会导致下一次扫描的残差更小

为什么残差对于小于7.e-4的所有解算器公差具有相同的值？对于高于7.e-4的解算器公差，为什么这些残差是常数并等于0.0007856742013190237

可能是因为解算器失败，因此没有更改解向量的值。有些解算器不报告这一点。在其他情况下，我们应该更好地向你们报告这一事实

为什么我的第一个残差和以前一样，即使我改变了解算器

残差不是解算器的属性。这是近似于PDE的离散化方程组的特性。然后，这些线性代数方程就是解算器的输入