Python:SciPy Curve_Fit用于将ODE系统与化学反应动力学数据进行拟合

我正在尝试建立一种方法，使一个ODE系统适合我的模拟化学反应数据。我试图找到一种方法来建立一个工具，从实验数据中找到某些参数（速率常数，如k1_f、k1_r、k2_f等）

据我所知，这些速率常数/参数是在被跟踪的每种物种/化学品的化学反应速率/ODE中定义的。因此，如果我们将原始数据拟合到ODE，我们可以提取这些参数。而且，我需要能够做到这一点，而不必拥有每种物种/化学物质的数据（因为有时你无法通过实验确定这些）

下面我已经尽了最大的努力，从Kitchin group网站上构建了一个简单的例子，但我不知道如何使用curve_fit将ODE系统与数据相匹配

我试图解决这个问题，一方面是为了找到一些有效的方法，另一方面是为了更好地理解合适的颂歌是如何工作的

以下是我正在处理的代码：

#Defining initial Data
tspan = [0., 0.6, 1.2, 1.8, 2.4, 3.,  3.6, 4.2, 4.8]
Prod_data = [0., 0.60420736, 0.73895125, 0.7591921,  0.76204478, 0.76244296, 0.76249842, 0.76250616, 0.76250722]

#Defining Function to get fit
def fitfunc1(t, k):
    k1f = k[0]
    k1r = k[1]
    k2f = k[2]
    k2r = k[3]
    
    def oderxn(C,t):
        #Defining differential form for each species
        Ce = C[0] 
        Cs = C[1]
        Ces = C[2]
        Cp = C[3]
        
        #Defining rate laws for forward and reverse reaction
        frxn1 = k1f * Ce * Cs
        rrxn1 = k1r * Ces
        frxn2 = k2f * Ces
        rrxn2 = k2r * Ce * Cp

        dEdt = -frxn1+rrxn1+frxn2-rrxn2
        dSdt = -frxn1+rrxn1
        dESdt = frxn1-rrxn1-frxn2+rrxn2
        dPdt = frxn2-rrxn2
        return [dEdt, dSdt, dESdt, dPdt]

    C0 = [0.4,1,0,0]
    Csol = odeint(oderxn, C0, t) 
    return Csol[:,0] 

C_int = (0.4, 1, 0, Prod_data)

print(C_int)
    
k_fit_a = curve_fit(fitfunc1, tspan, C_int)
print (k_fit_a)


tfit = np.linspace(0,5);
fit = fitfunc1(tfit, k_fit_a)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(tspan, A_data, 'ro', label='data')
plt.plot(tfit, fit, 'b-', label='fit')
plt.legend(loc='best')

下面是一个使用Symfit（我开始工作）的示例，以帮助：

from symfit import variables, parameters, ODEModel, D, Fit
from symfit.core.support import key2str
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Defining initial Data
tspan = [0., 0.6, 1.2, 1.8, 2.4, 3.,  3.6, 4.2, 4.8]
Prod_data = [0., 0.60420736, 0.73895125, 0.7591921,  0.76204478, 0.76244296, 0.76249842, 0.76250616, 0.76250722]

# Define our ODE model
t, E, S, ES, P = variables('t, E, S, ES, P')
k1f, k1r, k2f, k2r = parameters('k1f, k1r, k2f, k2r')

S_0 = 1 #Inital [S]0 from above
E_0 = 0.4 #Initial [E]0 from above

frxn1 = k1f * E * S
rrxn1 = k1r * ES
frxn2 = k2f * ES
rrxn2 = k2r * E * P

model_dict = {
    
    D(E, t): -frxn1+rrxn1+frxn2-rrxn2,
    D(S, t): -frxn1+rrxn1,
    D(ES, t): frxn1-rrxn1-frxn2+rrxn2,
    D(P, t): frxn2-rrxn2,
}
model = ODEModel(
    model_dict,
    initial={t: 0.0, E: E_0, S: S_0, ES: 0.0, P: 0.0}
)
print(model)

#Fitting the Data
#k1_f.min, k1_f.max = 1, 20
#k1_r.min, k1_r.max = 1, 20
#k2_f.min, k2_f.max = 0, 20
#k2_r.min, k2_r.max = 0, 20

fit = Fit(model, t=tspan, E= None, S=None,
          ES=None, P=Prod_data) 
fit_result = fit.execute()
print(fit_result)

#Graphing Results
taxis = np.linspace(0, 5, 1000)
model_fit = model(t=taxis, **fit_result.params)._asdict()
plt.scatter(tspan, Prod_data, label='[P] Data', color='blue')
colors = ('red', 'blue', 'green', 'yellow')
for var in model:
    plt.plot(taxis, model_fit[var], label='[{}]'.format(var.name), linewidth=2.0)
plt.legend()
plt.show()