Python 涉及正态变量累积分布函数的极限

我正在做一些关于不恰当积分的练习，我偶然发现了一个我无法解决的问题。我试图对以下问题使用limit（）函数：

这里N（x）是标准正态变量的累积分布函数

到目前为止，limit（）函数没有引起任何问题，包括需要应用L'Hôpital规则的问题。然而，对于这个特殊的问题，我正在努力计算出正确的答案，却不知道为什么。下面的代码产生了一个不正确的答案

from sympy import *

x, y = symbols('x y')
init_printing(use_unicode=False) #Print the answers in unicode characters

cum_distribution = (1/sqrt(2*pi)*(integrate(exp(-y**2/2), (y, -oo, x))))

func = (cum_distribution -(1/2)-(x/sqrt(2*pi)))/(x**3)

limit(func, x, 0)

如果我应用L'Hôpital法则，我会得到正确的答案

l_hopital = diff((cum_distribution -(1/2)-(x/sqrt(2*pi))), x)/diff(x**3, x)

limit(l_hopital, x, 0)

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我查看了limit（）函数的源代码，我的理解是L'Hôpital的规则不适用？在这种情况下，是否可以在不应用此规则的情况下使用limit（）函数解决此问题

目前，只有当

erf

的参数趋于正无穷大时，才能计算涉及函数

erf

的极限（称为，与正常CDF相关）。其他位置的限值要么未评估，要么评估不正确。(). 这包括限制

limit(-(sqrt(2)*x - sqrt(pi)*erf(sqrt(2)*x/2))/(2*sqrt(pi)*x**3), x, 0)

它返回未评估的结果（尽管我不认为这是错误的）。作为一种解决方法，您可以使用一个项（常数项）计算该函数的泰勒级数，该项给出了正确的极限值：

series(func, x, 0, 1).removeO()

返回

-sqrt（2）/（12*sqrt（pi））

在微积分实践中，当涉及算法计算时，L'Hopital规则不如幂级数技术，SymPy主要依赖后者。它使用的算法由Dominik Gruntz设计和解释