用python进行简单数值计算

在我的数值分析课程中，我们使用python进行编码，我对它还很陌生，所以我不确定我是否做对了，并感谢您的帮助。使用python，我需要计算：

i） 0.01^2并输入四舍五入为5位有效数字的答案

ii）f（0.000122），其中f（x）=cosh（x）+cos（x）-2，并将答案四舍五入到小数点后18位

iii）计算点0.981处的绝对误差| f（x）-p|4（x）|，如果p|4（x）是近似于f（x）=exp（pi*x）且x|0=0的四次泰勒多项式

我所做的：

i） 我的代码就是

x=0.001**2:
打印（x）

这里我得到0.0001，但我现在应该如何将其四舍五入到5位数

ii）这次我有：

将numpy导入为np
x=0.000122
y=np.cosh（x）+np.cos（x）-2
印刷品（圆形（y，18））

但是解决方案给了我0.0，这似乎是错误的，因为。。。它再次表示将其四舍五入到小数点后18位

iii）这里我刚从泰勒级数开始：

导入数学
x=数学pi*0.981
p4=x**0/数学阶乘（0）+x**1/数学阶乘（1）+x**2/数学阶乘（2）+x**3/数学阶乘（3）+x**4/数学阶乘（4）
打印（p4）

这样行吗？我在哪里使用$x_0=0$？当我没有使用每一个提示时，我总是不确定。我的下一步是：

error=abs（math.e**（math.pi*0.981）-p4）

这可以吗？

f（x）=cosh（x）+cos（x）-2的泰勒展开式的值为

[1+x^2/2+x^4/24+...] + [1-x^2/2+x^4/24+...] - 2 = x^4/12 + O(x^8)

然而，在给定值
x=1.22e-4
下计算该公式的误差约为
4*1.1e-16
。因此，精确值小于浮点噪声。或者换句话说，公式包含2到3个灾难性取消的实例。使用所需的正确位数无法获得所需的结果

你可以使用双参数恒等式来缓解这个问题

cosh(x)-1 = 2*sinh²(x/2)
cos(x) -1 = -2*sin²(x/2)
==> f(x) = 2*sinh²(x/2) - 2*sin²(x/2)

所以

从数学导入sin，cos，sinh，cosh
x=1.22e-4
y=2*（sinh（x/2）**2-sin（x/2）**2）
打印（“%.18e\n%.18e”%（y，x**4/12）

给出了结果

1.846112113571565333e-17
1.846112133333333120e-17

通过多精度评估，可以获得原始公式的更精确值

 1.84611 21333 33333 33357 67711 91051 10045 27621 30620 39852 27994 59662 46660 18747 71781 1746e-17

  1.84611 21333 33333 33357 67711 91051 10045 27621 30620 39852 27994 59662 46660 18747 71781 17468 16309 43036e-17

以及修正公式

  1.84611 21333 33333 33357 67711 91051 10045 27621 30620 39852 27994 59662 46660 18747 71781 17468 16309 43036e-17

即使在这里，第一个公式也会产生抵消效应，因为第二个公式提供了更多的数字

将这些结果与原始的双精度结果进行比较，我们可以看到，精确公式中只有
8位是正确的，对应于相同的二次泰勒项的剩余灾难性消除。泰勒展开的第一项有16位正确的数字，对应于相对误差O（x^4）~1e-16和相同大小的浮点精度。
当他们说“四舍五入”时，他们可能会要求您显示那么多小数位数（这与使用
round（）
）进行舍入不同。使用浮点数的字符串格式，只能出于显示目的进行舍入。请尝试
f“{1/3:.18f}”
（在字符串前面加上前导f-这是一个f字符串）在Python版本3.6或更高版本中，三分之一四舍五入到18位小数。您不需要导入numpy，两个变量中的余弦也会出现在数学模块中。//@blubberdiblub:要获得正确的非零小数数，是否最好使用
e
格式说明符？@Dr.LutzLehmann，这取决于y是什么您需要。由于
e
说明符强制使用e表示法（即
x*10^m
格式），如果您指定
f“{0.001:.18e}”
，您将在最重要的非零位之后获得18位小数，而对于
f“{0.001:.18f}”
你得到的是单位位置后的18位小数。我假设后者是最可能的解释，但你当然正确，另一位也可能是可能的解释。@Dr.LutzLehmann，我驳回另一位解释的原因是打印18位小数没有多大用处（加上点前的小数点）当小数点与最高有效位相对时的双精度浮点，因为IEEE双精度对于超过16位的小数不够精确。对于
f
说明符，它可能有用，具体取决于值的大小。当然，提出问题的人可能不知道这个事实。@blubberdiblub:Y是的，18位数字有点过多，它应该足以修复数字的二进制模式。如果不使用泰勒展开，只有8位是正确的，因此“大半”是垃圾。非常感谢。现在你的答案集中在ii）对吗？我对i）和iii）的答案正确吗？现在你如何得到ii）被18位小数取整的答案？i）任务和解决方案中有不同数量的零。此外，有效数字仅在前导零之后开始计数。iii）这看起来是正确的。展开点x_0是求导数得到泰勒系数的点，也是展开的中心点。我真的很抱歉问这个问题，但是。。。“任务和解决方案中有不同数量的零”是什么意思？所以我的答案是正确的，对吗？在任务描述中，您使用了0.01=1e-2。在python代码中，您编写了0.001=1e-3。在结果中，您编写了0.0001=1e-4，这是第一个值的平方，因此您可能在原始代码中做得对。