Python sin（x）/x的数值积分

我想用scipy在python中计算sin（x）/x的平方的定积分。n=256。它似乎不太管用：

 from scipy import integrate

 exact = integrate.quad(lambda x : (np.sin(x))/x, 0, 2*np.pi)[0]
 print("Exact value of integral:", exact)

 # Approx of sin(x)/x by Trapezoidal rule
 x = np.linspace(0, 2*np.pi, 257)
 f = lambda x : (np.sin(x))/x
 approximation = np.trapz(f(x), x)
 print ("Estimated value of trapezoidal O(h^2):", round(approximation, 5), 
   '+', round((2/256)**2, 5))
 print ("real error:", exact - approximation)

 # Approx of sin(x)/x by Simpsons 1/3 rule
 approximation = integrate.simps(f(x), x)
 print("Estimated value of simpsons O(h^4):", round(approximation, 9), 
   '+', round((2/256)**4, 9))
 print ("real error:", exact - approximation)

 plt.figure()
 plt.plot(x, f(x))
 plt.show()

精确的积分计算得很好，但我得到了一个误差与求积。。。怎么了

Exact value of integral: 1.4181515761326284
Estimated value of trapezoidal O(h^2): nan + 6e-05
real error: nan
Estimated value of simpsons O(h^4): nan + 4e-09
real error: nan

---

提前谢谢

您的代码中至少存在一些问题：

您的linspace从

0

开始，因此当您计算要积分的函数时，在梯形积分的开头，您有：

sin（0）/0=nan

。您应该使用数字零而不是精确零（在下面的示例中，我使用了

1e-12

）

当你得到第一个

nan

，

nan+1.0=nan

：这意味着在你的代码中，当你对区间内的积分求和时，第一个

nan

会弄乱你的所有结果

仅适用于python 2：除法

2/256

是两个整数之间的除法，结果是

0

。请改用

2.0/256.0

（感谢@MaxU指出这一点）

这是您的代码修复（我在python2中运行它，这是我现在使用的pc中安装的）：

---

Discalimerx->0的

sin（x）/x->1的限制，但是由于
sin（1e-12）/1e-13=1的浮动舍入
 您的代码中至少存在一些问题：

您的linspace从
0
开始，因此当您计算要积分的函数时，在梯形积分的开头，您有：
sin（0）/0=nan
。您应该使用数字零而不是精确零（在下面的示例中，我使用了
1e-12
）
当你得到第一个
nan
，
nan+1.0=nan
：这意味着在你的代码中，当你对区间内的积分求和时，第一个
nan
会弄乱你的所有结果
仅适用于python 2：除法
2/256
是两个整数之间的除法，结果是
0
。请改用
2.0/256.0
（感谢@MaxU指出这一点）
这是您的代码修复（我在python2中运行它，这是我现在使用的pc中安装的）：

Discalimerx->0的
sin（x）/x->1的限制，但是由于
sin（1e-12）/1e-13=1的浮动舍入
 NaN表示“不是数字”。在你的情况下，基本上是无限的。创建时：

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 257)

您创建了一个值为0的数组，然后尝试除以x，但不能除以0

一种解决方案是使用以下方法：

x = np.linspace(0.1, 2*np.pi, 257)

给你这个：

Exact value of integral: 1.4181515761326284
Estimated value of trapezoidal O(h^2): 1.31822 + 6e-05
real error: 0.099935104987
Estimated value of simpsons O(h^4): 1.318207115 + 4e-09
real error: 0.0999444614012

离零越近，近似值就越好
 NaN表示“不是数字”。在你的情况下，基本上是无限的。创建时：

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 257)

您创建了一个值为0的数组，然后尝试除以x，但不能除以0

一种解决方案是使用以下方法：

x = np.linspace(0.1, 2*np.pi, 257)

给你这个：

Exact value of integral: 1.4181515761326284
Estimated value of trapezoidal O(h^2): 1.31822 + 6e-05
real error: 0.099935104987
Estimated value of simpsons O(h^4): 1.318207115 + 4e-09
real error: 0.0999444614012

离零越近，近似值就越好
 对于x==0，可以使函数返回1（sin（x）/x在0中的极限），而不是
NaN
。这样，您就不必为了排除0而欺骗和更改积分的间隔

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate

exact = integrate.quad(lambda x : (np.sin(x))/x, 0, 2*np.pi)[0]
print("Exact value of integral:", exact)


def f(x):
    out = np.sin(x) / x
    # For x == 0, we get nan. We replace it by the 
    # limit of sin(x)/x in 0
    out[np.isnan(out)] = 1
    return out

# Approx of sin(x)/x by Trapezoidal rule

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 257)

approximation = np.trapz(f(x), x)
print ("Estimated value of trapezoidal O(h^2):", round(approximation, 5), 
  '+', round((2/256)**2, 5))
print ("real error:", exact - approximation)
 # Approx of sin(x)/x by Simpsons 1/3 rule
approximation = integrate.simps(f(x), x)
print("Estimated value of simpsons O(h^4):", round(approximation, 9), 
  '+', round((2/256)**4, 9))
print ("real error:", exact - approximation)
plt.figure()
plt.plot(x, f(x))
plt.show()

输出：

Exact value of integral: 1.4181515761326284
Estimated value of trapezoidal O(h^2): 1.41816 + 6e-05
real error: -7.98955129322e-06
Estimated value of simpsons O(h^4): 1.418151576 + 4e-09
real error: 2.72103006793e-10

对于x==0，可以使函数返回1（sin（x）/x在0中的极限），而不是
NaN
。这样，您就不必为了排除0而欺骗和更改积分的间隔

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate

exact = integrate.quad(lambda x : (np.sin(x))/x, 0, 2*np.pi)[0]
print("Exact value of integral:", exact)


def f(x):
    out = np.sin(x) / x
    # For x == 0, we get nan. We replace it by the 
    # limit of sin(x)/x in 0
    out[np.isnan(out)] = 1
    return out

# Approx of sin(x)/x by Trapezoidal rule

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 257)

approximation = np.trapz(f(x), x)
print ("Estimated value of trapezoidal O(h^2):", round(approximation, 5), 
  '+', round((2/256)**2, 5))
print ("real error:", exact - approximation)
 # Approx of sin(x)/x by Simpsons 1/3 rule
approximation = integrate.simps(f(x), x)
print("Estimated value of simpsons O(h^4):", round(approximation, 9), 
  '+', round((2/256)**4, 9))
print ("real error:", exact - approximation)
plt.figure()
plt.plot(x, f(x))
plt.show()

输出：

Exact value of integral: 1.4181515761326284
Estimated value of trapezoidal O(h^2): 1.41816 + 6e-05
real error: -7.98955129322e-06
Estimated value of simpsons O(h^4): 1.418151576 + 4e-09
real error: 2.72103006793e-10

我想最好是0.0000000000001！哈哈，没错，但更好的是Matteo刚刚在我面前，1e-12，这是0之前可能的最小数字！我想最好是0.0000000000001！哈哈，没错，但更好的是Matteo刚刚在我面前，1e-12，这是0之前可能的最小数字！