Recursion trie上函数的终止检查_Recursion_Trie_Termination_Agda

Recursion trie上函数的终止检查

recursion

Recursion trie上函数的终止检查,recursion,trie,termination,agda,Recursion,Trie,Termination,Agda,我很难说服Agda终止检查下面的函数fmap，以及在Trie结构上递归定义的类似函数。Trie是一个域，其域是一个类型，一个由单元、产品和固定点组成的对象级类型（为了使代码最小化，我省略了副产品）。问题似乎与我在Trie的定义中使用的类型级替换有关。（表达式const（μₜ τ） *τ表示应用替换常数（μₜ τ）到类型τ）模块温度，其中打开导入数据。单位打开导入类别。函子开放式导入功能开放式导入级别打开导入关系。二进制 --上下文只是一个snoc列表。数据Cxt{内联/熔丝技巧可

我很难说服Agda终止检查下面的函数

fmap

，以及在

Trie

结构上递归定义的类似函数。

Trie

是一个域，其域是一个

类型

，一个由单元、产品和固定点组成的对象级类型（为了使代码最小化，我省略了副产品）。问题似乎与我在

Trie

的定义中使用的类型级替换有关。（表达式

const（μₜ τ） *τ

表示应用替换

常数（μₜ τ）

到类型

τ

）

模块温度，其中
打开导入数据。单位
打开导入类别。函子
开放式导入功能
开放式导入级别
打开导入关系。二进制
--上下文只是一个snoc列表。
数据Cxt{内联/熔丝技巧可以（也许）以令人惊讶的方式应用。此技巧适用于此类问题：
map-trie : {A B : Set} → (A → B) → Trie A → Trie B
map-trie         f nil = nil
map-trie {A} {B} f (node x xs) = node (f x) (map′ xs)
  where
  map′ : List (Trie A) → List (Trie B)
  map′ [] = []
  map′ (x ∷ xs) = map-trie f x ∷ map′ xs

此函数在结构上是递归的，但以隐藏的方式。map
仅将map trie f
应用于xs
的元素，因此map trie
应用于较小的（子-）尝试。但Agda没有查看map
的定义，以确定它没有做任何奇怪的事情。因此，我们必须应用内联/融合技巧，使其通过终止检查器：
fmap fmap′ : ∀ {a} {A B : Set a} {τ} → (A → B) → τ ▷ A → τ ▷ B

fmap  f (〈〉 x) = 〈〉 (f x)
fmap  f 〔 σ₁ , σ₂ 〕 = 〔 fmap f σ₁ , fmap f σ₂ 〕
fmap  f (↑ σ) = ↑ (fmap (fmap′ f) σ)
fmap  f (roll σ) = roll (fmap f σ)

fmap′ f (〈〉 x) = 〈〉 (f x)
fmap′ f 〔 σ₁ , σ₂ 〕 = 〔 fmap′ f σ₁ , fmap′ f σ₂ 〕
fmap′ f (↑ σ) = ↑ (fmap′ (fmap f) σ)
fmap′ f (roll σ) = roll (fmap′ f σ)


您的fmap
函数共享相同的结构，您映射了某种提升的函数。但是要内联什么呢？如果我们遵循上面的示例，我们应该内联fmap
本身。这看起来和感觉上都有点奇怪，但实际上，它是有效的：
data SizedList (A : Set) : ℕ → Set where
  []  : ∀ {n} → SizedList A n
  _∷_ : ∀ {n} → A → SizedList A n → SizedList A (suc n)


您还可以应用另一种技术：称为大小类型。与其依赖编译器来确定某个内容何时是结构递归的，不如直接指定它。但是，您必须按Size
类型对数据类型进行索引，因此这种方法相当具有侵入性，无法应用于已经存在的数据类型我认为这是值得一提的
在其最简单的形式中，size type表现为由自然数索引的类型。此索引指定结构大小的上限。您可以将其视为树高度的上限（假定数据类型是某个函子F的F分支树）.size版本的列表
看起来几乎像一个Vec
，例如：
{-# OPTIONS --sized-types #-}
open import Size

但是大小类型添加了一些使其更易于使用的特性∞

用于不关心大小的情况。

suc

称为

↑和Agda实现的规则很少，例如↑ ∞ = ∞
让我们重写Trie
示例以使用大小类型。我们需要在文件顶部添加一个pragma和一个导入：
data Trie (A : Set) : {i : Size} → Set where
  nil  : ∀ {i}                         → Trie A {↑ i}
  node : ∀ {i} → A → List (Trie A {i}) → Trie A {↑ i}

下面是修改后的数据类型：
map-trie : ∀ {i A B} → (A → B) → Trie A {i} → Trie B {i}
map-trie f nil         = nil
map-trie f (node x xs) = node (f x) (map (map-trie f) xs)

如果您保持map trie
功能不变，终止检查器仍会抱怨。这是因为当您不指定任何大小时，Agda将填写无穷大（即不关心值），我们回到了开始
但是，我们可以将映射trie
标记为保持大小：
因此，如果你给它一个以i
为界的Trie
，它也会给你另一个以i
为界的Trie
。因此map Trie
永远不能使Trie
变大，只能使其变大或变小。这足以让终止检查器找出map（map Trie f）xs
正常

此技术也可应用于您的Trie
：
打开导入大小
更名(↑_ 至^)
data Trie{看起来您的一些unicode正在丢失：（啊，在我安装的Ubuntu上没有；）告诉我哪里有您看不到的字符，我会尝试发布一个更友好的版本。（我想知道是不是像我说的“字母符号”而不是“字体字符”这样的特殊字体字符）。内联技巧实际上是适用的-它只是看起来有点奇怪。可能有更好的方法，但是如果你对这个解决方案满意，我将把它作为一个答案发布。是的，unicode似乎造成了一些麻烦（不适用于我的Agda模式，因为DejaVu Sans+Code2000可以处理几乎任何事情；另一方面，Gist…）.Subscriptt
和s
没有为我显示（我得到了带有十六进制代码点的框）。看起来stackoverflow的CSS为代码块提供了更多的字体选择。太棒了，非常感谢。我选择了“大小类型”方法，因为内联方法对证明的影响（加上它很可怕：）。如果你将不同大小的值组合在一起，比如说，而不是像fmap
那样只保留大小，那么大小推理会变得棘手吗？同样好奇的是，“大小类型”是如何例如，这种方法与其他一般策略相比。@Roly:嗯，我不太使用大小类型，所以我不太清楚它们的限制。但我建议您查看Agda存储库中的示例和测试：只需grep for--size type。回答得很好。@Roly:我的理解有限，但我的印象是大小类型通常（或总是？）允许阻止“内联/融合”技巧，甚至更多。如果没有大小类型，则在本地检查大小（不考虑调用函数的主体），“内联/融合”解决了这一问题；但是大小类型允许在非本地传播这类信息-它们暴露“大小行为”函数在其接口中的实现，在调用方终止检查期间可见。@Blaisorblade好的，这是一个信息性的解释。谢谢。
map-trie : ∀ {i A B} → (A → B) → Trie A {i} → Trie B {i}
map-trie f nil         = nil
map-trie f (node x xs) = node (f x) (map (map-trie f) xs)