Scheme 从数学上讲，为什么一个数的指数乘以另一个数的SICP算法有效？

给出了以下步骤：

    (define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m))
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m))
                    m))))

作者声称，它“计算一个数乘以另一个数的指数”。例如

（expmod 5 3 n）

应该返回（5^3）mod n

然而，从数学的角度来看，我就是看不出它是如何工作的。正如所强调的，它打算使用一个属性，即对于任何正整数a、b和n，（ab）mod n=[（a mod n）（b mod n）]mod n，但我看不出它实际上是如何使用它的。考虑<代码>（ExpMod 5 3 3）< /> >：

首先，我们称之为

（expmod 5 3）

。从数学上来说，这意味着我们要求的是（5^3）mod 3

由于第二个参数是奇数，我们计算

（余数（*5（expmod 5（-3 1）3））3

，即

（余数（*5（expmod 5 2 3））3

。从数学上讲，这是[5*[（5^2）mod 3]]mod 3。由于此表达式中的首字母5没有附加mod 3，因此此表达式在（ab）mod n=[（a mod n）（b mod n）]mod n形式中是而不是，因此无法使用预期属性

那么，既然它似乎没有使用预期的属性，为什么这个算法会工作呢？我忽略了模运算的什么性质

(ab) mod n = [a (b mod n)] mod n

这也是事实

这里有一个关于

a

的归纳证明

基本情况：当

a=0

，

（0b）mod n=0 mod n=[0（b mod n）]mod n

时

((a+1) b) mod n
= (ab + b) mod n
= (ab mod n) + (b mod n)
= [a (b mod n)] mod n + (b mod n)             by induction hypothesis
= [a (b mod n)] mod n + (b mod n) mod n
= [a (b mod n) + (b mod n)] mod n
= [(a + 1) (b mod n)] mod n

感应情况：

通过归纳假设，假设

（ab）mod n=[a（b mod n）]mod n

为真。我们需要证明，

（（a+1）b）mod n=[（a+1）（b mod n）]mod n

((a+1) b) mod n
= (ab + b) mod n
= (ab mod n) + (b mod n)
= [a (b mod n)] mod n + (b mod n)             by induction hypothesis
= [a (b mod n)] mod n + (b mod n) mod n
= [a (b mod n) + (b mod n)] mod n
= [(a + 1) (b mod n)] mod n

如所愿

这就证明了

(ab) mod n = [a (b mod n)] mod n

---

事实上，你可以看到

(ab) mod n = [(a mod n) (b mod n)] mod n

是由此产生的结果。这里有一个证据：

(ab) mod n 
= [a (b mod n)] mod n            by what we just proved
= [(b mod n) a] mod n
= [(b mod n) (a mod n)] mod n    by what we just proved
= [(a mod n) (b mod n)] mod n

---

这是1.2.4中fast exp的定义，参考：

(define (fast-expt b n)
  (cond ((= n 0) 1)
        ((even? n) (square (fast-expt b (/ n 2))))
        (else (* b (fast-expt b (- n 1))))))

如果我们将其重命名为closer match expmod，它看起来如下所示：

(define (expt base exp)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (square (expt base (/ exp 2))))
        (else
         (* base (expt base (- exp 1))))))

要获得一个简单的

expmod

，我们现在只需计算每个子句的剩余部分：

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expt base (/ exp 2))) m))
        (else
         (remainder (* base (expt base (- exp 1))) m))

到目前为止，我们还没有使用脚注

（ab）mod m=（（a mod m）（b mod m）mod m）

。当然，这种情况的一个特例是

（aa）mod m=（（a mod m）（a mod m）mod m）

，它给出

（余数（平方a）m）=（余数（平方m））m

。我们可以将它与

偶数

子句一起使用，以便

         (remainder (square (expt base (/ exp 2))) m)

变成：

         (remainder (square (remainder (expt base (/ exp 2)) m))
                    m)

在这中间我们有一个指数的余数，所以这相当于：

         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m)

         (remainder (* base (remainder E m)) m)

使用新的

偶数

子句

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) 
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expt base (- exp 1))) m))

为了简化odd子句，现在让我们使用

E

代替

（expt base（-exp 1））

通过使用

mod

的定义属性，我们可以说任何数字

a

：

         a = (+ (* (quotient a m) m) (remainder a m))

所以这也是事实：

         E = (+ (* (quotient E m) m) (remainder E m))

将此替换为我们的

odd

条款：

         (remainder (* base E) m)

给出：

         (remainder (* base (+ (* (quotient E m) m) (remainder E m))) m)

我们可以忽略

（*（商em）m）

，因为包含此项的任何项都可以被

m

整除，因此在执行外部

余数时，计算结果将为
0
，因此这相当于：

         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m)

         (remainder (* base (remainder E m)) m)

将E扩展到其原始值：

         (remainder (* base (remainder (expt base (- exp 1)) m)) m)

再一次，在中间，我们有一个指数的剩余部分，这样就变成：
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m)

我们的
expmod
现在是：

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         (remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) 
                    m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m))
                    m))))

关于第2点，请注意，（a*（b mod n））mod n也等于（a*b）mod n.@molbdnilo奇怪，如果这样美好的事情是真的，我会期望它在前面和中间。我错过了吗？它是根据加法规则得出的。（大多数值得知道的事情在维基百科中根本没有提到。）@molbdnilo来自加法规则？如果它是琐碎的，我就不能这么容易地看到它。因此，最终，奇数分支不使用所讨论的属性？
（余数（*base（余数em））m）
的形式似乎是[a*（b mod m）]mod m。由于这是从
（余数（*base E）m）
中推导出来的，因此我得出的结论是否正确，即您提供了与Sorawe Porncharoenwase具有相同属性的证据？i、 e.（ab）mod n=[a（b mod n）]mod n？@J.Mini是的，我没有在奇数子句中使用它。当消除
（*（商em）m）
时，可能有一种方法可以使用它，但我不够聪明，看不到它，而且在任何情况下，它似乎有点做作。我没有仔细看索拉维的答案，正忙着写我自己的：-），也许我会说这个答案是建立在他的基础上的？我很惊讶这不是。你已经证明的版本比他们提供的版本更强大。当有一个更强大的版本不需要额外的概念时，他们为什么要给出一个具体的例子？此外，我很惊讶SICP的脚注中没有这一点。这让我怀疑我是否误读了它。是吗？嗯，维基百科并不包含所有内容，而且，
[（a mod n）（b mod n）]mod n
也没有什么问题。有人可能会说，SICP的错误在于他们没有准确地遵循方程式，而解决办法是使用
（*（余数基数m）…）
而不是
（*基数…）
。事实上，从性能的角度来看，最好使用
（*（余数基数m）…）
。例如，请参阅以提高球拍中的
模块化expt
的性能。