Scheme 表达式简化

我有这个代码来计算导数：

(define (diff x expr)
  (if  (not (list? expr))
    (if  (equal? x expr) 1 0)
    (let ((u (cadr expr)) (v (caddr expr)))
     (case (car expr)
       ((+) (list '+ (diff x u) (diff x v)))
       ((-) (list '- (diff x u) (diff x v)))
       ((*) (list '+
                   (list  '* u (diff x v))
                   (list  '* v (diff x u))))
        ((/) (list ‘div (list '-
                  (list  '* v (diff x u))
                  (list  '* u (diff x v)))
                  (list  '* u v)))
))))

如何简化代数表达式

而不是

x+x

show

2x

及

而不是

x*x

show

x^2

也许from会有用。它是公共Lisp，与Scheme非常相似。入口点是

simp

函数

请注意，它还使用

历史注释：PAIP的相关章节提到了20世纪60年代在麻省理工学院开发的计算机代数系统，它是Mathematica、Maple（现在在Matlab中）和其他工具的基础。

以下是一个开始：

将导数函数从

（define（diff x expr）

更改为类似

（define（simp expr）…）

对于

x+x

情况，执行以下操作

(case (car expr)
  ((+) (if (equal u v)    ; check for identical subexpressions
         `(* ,(simp u) 2) ; if u==v, simplify 2u
         `(+ ,(simp u) ,(simp v))))
  ...)

x*x

的情况应该类似。最后，如果需要进行许多不同的简化，您可能需要将

if

转换为

cond

---

这是一个很难完全解决的问题，eliben给出的链接值得一看。

代数表达式的简化相当困难，尤其是与导数的计算相比。简化应该递归地进行。首先要简化最里面的表达式。一次不要尝试太多。我只从最基本的简化开始，例如：

 0 + x -> x
 0 * x -> 0
 1 * x -> x
 x ^ 0 -> 1
 x ^ 1 -> x

用加法代替减法，用乘法代替除法

 x - y -> x + (-1)*x
 x / y -> x ^ (-1)

这看起来可能不是一种简化，但它将简化您的代码。在结束时，您始终可以反转此步骤

然后使用结合性和交换性对术语进行排序。将数值移到左侧，按预定义的顺序对变量排序（不必按字母顺序，但应始终相同）

简化指数

  (x ^ y) ^ z -> x^(y * z)

简化数值部分

 2 * (3 * x) -> 6 * x
 2 + (3 + x) -> 5 + x

---

完成这项工作后，您可以考虑收集常用表达式。

一般的问题很难解决，但使用乘积和标准形式（表示为从键（变量名）到系数的有限映射）可以有很长的路要走。这种形式适用于线性方程组和线性求解，并且可以扩展到乘法和幂，而不需要太多麻烦。如果你在这种形式上为算术定义“智能构造函数”，你可以得到一些合理的符号微分和方程求解

这是一个快速的破解，但我已经在一些应用程序中使用过它。它在几家公司工作；有几次还不够好。更严重的是，你说的是多年的工作

---

如果您需要代码示例，可以阅读。

听起来很有趣。你的论文是pdf格式的吗？要获得一个很好的总结，包括许多具体的、易于实现的规则，请参阅论文：“微积分的历史和计算机代数系统的发展”。有关章节如下：

 2 * (3 * x) -> 6 * x
 2 + (3 + x) -> 5 + x