Time complexity 大θ：乘以θ（n）和θ（n^2）=θ（n^3）？

如果f（n）=Θ（n）和

g（n）=Θ（n^2）

那么f（n）*g（n）=Θ（n^3）？

问题 从技术上讲，

Θ（n）

是一组函数，所以我们说

f

在

Θ（n）

中，而不是

f（n）

等于

Θ（n）

因此，我们要调查的问题是：

让

h(n) = g(n) · f(n)                                           (*)

是否

f∈ ϴ（n）

和

g∈ ϴ（n^2）

意味着

h∈ ϴ（n^3）

---

准备工作 首先，让我们粗略地说明Big-ϴ符号的定义

f∈ ϴ（g（n））

⇨ 对于某些正常数

k1

、

k2

和

n0

，以下公式适用：

k1 · |g(n)| ≤ |f(n)| ≤ k2 · |g(n)|, for all n ≥ n0           (+)

我们将使用下面的定义，但在不丧失一般性的情况下，假设上述

f（n）

和

g（n）

对所有

n

都是非负的

解决方案 从上面我们可以说明，对于一些正的常数集

（c1，c2，n0）

和

（d1，d2，m0）

，以下条件成立

f ∈ ϴ(n):    c1 · n   ≤ f(n) ≤ c2 · n,   for all n ≥ n0        (i)
g ∈ ϴ(n^2):  d1 · n^2 ≤ g(n) ≤ d2 · n^2, for all n ≥ m0        (ii)

现在，常数集

（c1、c2、n0）

（以及

（d1、d2、m0）

）不是唯一的；如果存在这样一个集合，则存在无限多个这样的集合。因为

f∈ ϴ（n）

和

g∈ ϴ（n^2）

保持不变，这样的集合确实存在，我们可以在不丧失普遍性的情况下，假设我们可以找到一组常数

（c1，c2，n0）

和

（d1，d2，m0）

，使得

c1=d1

，

c2=d2

和

n0=m0

都保持不变。因此，我们可以将

（i-ii）

重新表述为：

f ∈ ϴ(n):    c1 · n   ≤ f(n) ≤ c2 · n,   for all n ≥ n0        (I)
g ∈ ϴ(n^2):  c1 · n^2 ≤ g(n) ≤ c2 · n^2, for all n ≥ n0        (II)

对于某些正常量集

（c1、c2、n0）

现在，由于

n>n0>0

，上述不等式

（I-II）

中的所有项都是正的，我们可以直接应用

（*）

：

(I) * (II):

    c1^2 · n^3 ≤ f(n) · g(n) ≤ c2^2 · n^3, for all n ≥ n0      (iii)

现在，让

k1=c1^2

和

k2=c2^2

，并在

h（n）=f（n）·g（n）

中插入--

    k1 · n^3 ≤ h(n) ≤ k2 · n^3, for all n ≥ n0                 (III)

这就是

（+）

对

h的定义∈ ϴ（n^3）

，因此我们通过展示以下内容解决了我们的问题：

对于

h（n）

如

（*）

：

f∈ ϴ（n）

和

g∈ ϴ（n^2）

意味着

h∈ ϴ（n^3）