Types 我怎样才能使Agda相信我的函数有一定的价值?
我习惯于在数学中写人类的证明,但我对写Agda非常陌生。下面是一个我无法用Agda证明的玩具示例 非正式地说,我想写一个函数f,它取一个自然数x和一对自然数。如果该对中的第一个元素等于x,则返回该对中的第二个元素。否则,返回0 以下是我对自然数相等的定义:Types 我怎样才能使Agda相信我的函数有一定的价值?,types,proof,agda,dependent-type,Types,Proof,Agda,Dependent Type,我习惯于在数学中写人类的证明,但我对写Agda非常陌生。下面是一个我无法用Agda证明的玩具示例 非正式地说,我想写一个函数f,它取一个自然数x和一对自然数。如果该对中的第一个元素等于x,则返回该对中的第二个元素。否则,返回0 以下是我对自然数相等的定义: data N : Set where zero : N s : N → N data _≡_ {X : Set} : X → X → Set where refl : (x : X) → (x ≡ x) data _≢_ :
data N : Set where
zero : N
s : N → N
data _≡_ {X : Set} : X → X → Set where
refl : (x : X) → (x ≡ x)
data _≢_ : N → N → Set where
< : {n : N} → (zero ≢ (s n))
> : {n : N} → ((s n) ≢ zero)
rec : {n m : N} → (n ≢ m) → ((s n) ≢ (s m))
data _=?_ (n m : N) : Set where
true : (n ≡ m) → (n =? m)
false : (n ≢ m) → (n =? m)
equal? : (n m : N) → (n =? m)
equal? zero zero = true (refl zero)
equal? zero (s _) = false <
equal? (s _) zero = false >
equal? (s n) (s m) with (equal? n m)
... | (true (refl a)) = (true (refl (s a)))
... | (false p) = (false (rec p))
我无法证明
lemma : (x y : N) → (y ≡ (f x (pair x y)))
因为当我试图在定义中引入refl
构造函数时,它会抱怨
y != f x (pair x y) | equal? x x of type N
为了证明这个引理,我必须改变什么?在
引理中,你需要在上进行模式匹配?x x
,因为f
也与之匹配,在进行相同的匹配之前,您无法对f
的输出进行推理。但是,equal有两种情况?x x
:
lemma : (x y : N) → (y ≡ (f x (pair x y)))
lemma x y with equal? x x
... | true (refl _) = refl _
... | false _ = ?
其中,第二种情况是不可能的。要排除这种可能性,您需要证明∀ N→ 平等?n n≡ 真(refl)
:
然而,如果将不等式定义为等式的否定,则不需要做额外的工作,因为x≢ x
立即意味着⊥代码>
data ⊥ : Set where
⊥-elim : ⊥ → {A : Set} → A
⊥-elim ()
_≢_ = λ {A : Set}(x y : A) → x ≡ y → ⊥
data _=?_ (n m : N) : Set where
true : (n ≡ m) → (n =? m)
false : (n ≢ m) → (n =? m)
equal? : ∀ n m → n =? m
equal? zero zero = true (refl zero)
equal? zero (s m) = false (λ ())
equal? (s n) zero = false (λ ())
equal? (s n) (s m) with equal? n m
... | true (refl _) = true (refl _)
... | false p = false λ {(refl _) → p (refl n)}
data Npair : Set where
pair : (n m : N) → Npair
f : N → Npair → N
f a (pair b c) with equal? a b
... | (true (refl _)) = c
... | (false _) = zero
lemma : (x y : N) → (y ≡ (f x (pair x y)))
lemma x y with equal? x x
... | true (refl .x) = refl y
... | false p = ⊥-elim (p (refl _))
equal?-true : ∀ n → equal? n n ≡ true (refl _)
equal?-true zero = refl _
equal?-true (s n) with equal? n n | equal?-true n
... | true (refl _) | q = refl _
... | false x | ()
lemma : (x y : N) → (y ≡ (f x (pair x y)))
lemma x y with equal? x x | equal?-true x
... | true (refl _) | _ = refl _
... | false _ | ()
data ⊥ : Set where
⊥-elim : ⊥ → {A : Set} → A
⊥-elim ()
_≢_ = λ {A : Set}(x y : A) → x ≡ y → ⊥
data _=?_ (n m : N) : Set where
true : (n ≡ m) → (n =? m)
false : (n ≢ m) → (n =? m)
equal? : ∀ n m → n =? m
equal? zero zero = true (refl zero)
equal? zero (s m) = false (λ ())
equal? (s n) zero = false (λ ())
equal? (s n) (s m) with equal? n m
... | true (refl _) = true (refl _)
... | false p = false λ {(refl _) → p (refl n)}
data Npair : Set where
pair : (n m : N) → Npair
f : N → Npair → N
f a (pair b c) with equal? a b
... | (true (refl _)) = c
... | (false _) = zero
lemma : (x y : N) → (y ≡ (f x (pair x y)))
lemma x y with equal? x x
... | true (refl .x) = refl y
... | false p = ⊥-elim (p (refl _))