Wolfram mathematica 如何在NDSolve中施加约束

我有一个关于Mathematica和Solve中的约束的问题

如果我有两个线性微分方程

NDSolve[x'[t]= A x[t]+B y[t], 
        y'[t]= C x[t]+D y[t], 
        x[0]==0.002, y[0]==0.005, {x,y}, {t,0.10000}]

我如何施加约束

x[t]+y[t] == 1 

随时

谢谢

请尝试以下示例：

DSolve[{x'[t] == A x[t] + B (1 - x[t]), x[0] == 2/10}, x[t], t]

例如：

DSolve[{x'[t] == A x[t] + B (1 - x[t]), x[0] == 2/10}, x[t], t]

---

答案是，一般来说，你不能。这不是数学的局限，而是数学的局限

您试图同时求解三个方程：

x' = Ax+By
y' = Cx+Dy
1 = x + y

我将使用小写的

a，b，c，d来避免Mathematica的问题

正如belisarius所建议的，您不需要手动进行替换。您只需选择其中任意两个，然后让Mathematica求解：

a = 1; b = 2; c = 3; d = 4; x0 = 0.2; y0 = 0.8;

NDSolve[{x'[t] == a x[t] + b y[t], y'[t] == c x[t] + d y[t], 
 x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 1000}];
Plot[Evaluate[ReplaceAll[{x[t], y[t]}, %]], {t, 0, 0.01}]

NDSolve[{x'[t] == a x[t] + b y[t], x[t]+y[t]==1, 
 x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 1000}];
Plot[Evaluate[ReplaceAll[{x[t], y[t]}, %]], {t, 0, 0.01}]

NDSolve[{y'[t] == c x[t] + d y[t], x[t]+y[t]==1,
 x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 1000}];
Plot[Evaluate[ReplaceAll[{x[t], y[t]}, %]], {t, 0, 0.01}]

请注意，对于其中任何一个，您都需要指定常数
a、b、c、d、x0、y0
（并且您需要
x0
和
y0
对第二个和第三个常数求和为1）

正如您所问，我正在使用NDSolve，尽管其中任何一个都可以通过
DSolve
来解决（有或没有常量的固定值）：

但是，需要注意的是，对于三个函数方程和两个函数，不能同时求解所有方程。这就是为什么
NDSolve
生成的三个图形和
DSolve
生成的三组解决方案会有所不同的原因。注意，在后两种情况下，我必须通过给出
1-x0
作为初始值来明确强制x[0]+y[0]=1

因为你有三个方程，你要么有一个不一致的系统，要么有一个超定的系统。如果您试图同时求解这三个问题，Mathematica将给出一个错误：

NDSolve::overdet:
"There are fewer dependent variables, {x[t],y[t]}, than equations, so the
system is overdetermined."

（类似于
DSolve
）

我选择的
a=1，b=2，c=3，d=4使其不一致（因此我的三张图不一致）。你可以随意使用
操纵
或其他东西来查看它们之间的关系，但我有两种基本方法来确定如何（如果有的话）强制所有三个方程的解保持一致：

只需区分
1=x+y
。这将为您提供
0=x'+y'
，这意味着您始终具有限制
ax+by=cx+dy
，换句话说
y=（c-a）/（b-d）x
。这实际上与原始约束不一致
x+y=1

考虑DEs
x'=ax+by
和
y'=cx+dy
的线性系统。为了使解成为一条直线，它必须在特征向量的方向上，并且必须通过原点。您的约束
x+y=1
是一条不符合这些标准的线，因此两个DEs的任何解都不会满足您的代数方程

PS我想你的原始代码有一个输入错误。你可能想要
{t，010000}
是吗？
答案是一般来说你不能。这不是数学的局限，而是数学的局限

您试图同时求解三个方程：

x' = Ax+By
y' = Cx+Dy
1 = x + y

我将使用小写的
a，b，c，d来避免Mathematica的问题

正如belisarius所建议的，您不需要手动进行替换。您只需选择其中任意两个，然后让Mathematica求解：

a = 1; b = 2; c = 3; d = 4; x0 = 0.2; y0 = 0.8;

NDSolve[{x'[t] == a x[t] + b y[t], y'[t] == c x[t] + d y[t], 
 x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 1000}];
Plot[Evaluate[ReplaceAll[{x[t], y[t]}, %]], {t, 0, 0.01}]

NDSolve[{x'[t] == a x[t] + b y[t], x[t]+y[t]==1, 
 x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 1000}];
Plot[Evaluate[ReplaceAll[{x[t], y[t]}, %]], {t, 0, 0.01}]

NDSolve[{y'[t] == c x[t] + d y[t], x[t]+y[t]==1,
 x[0] == x0, y[0] == y0}, {x[t], y[t]}, {t, 0, 1000}];
Plot[Evaluate[ReplaceAll[{x[t], y[t]}, %]], {t, 0, 0.01}]

请注意，对于其中任何一个，您都需要指定常数
a、b、c、d、x0、y0
（并且您需要
x0
和
y0
对第二个和第三个常数求和为1）

正如您所问，我正在使用NDSolve，尽管其中任何一个都可以通过
DSolve
来解决（有或没有常量的固定值）：

但是，需要注意的是，对于三个函数方程和两个函数，不能同时求解所有方程。这就是为什么
NDSolve
生成的三个图形和
DSolve
生成的三组解决方案会有所不同的原因。注意，在后两种情况下，我必须通过给出
1-x0
作为初始值来明确强制x[0]+y[0]=1

因为你有三个方程，你要么有一个不一致的系统，要么有一个超定的系统。如果您试图同时求解这三个问题，Mathematica将给出一个错误：

NDSolve::overdet:
"There are fewer dependent variables, {x[t],y[t]}, than equations, so the
system is overdetermined."

（类似于
DSolve
）

我选择的
a=1，b=2，c=3，d=4使其不一致（因此我的三张图不一致）。你可以随意使用
操纵
或其他东西来查看它们之间的关系，但我有两种基本方法来确定如何（如果有的话）强制所有三个方程的解保持一致：

只需区分
1=x+y
。这将为您提供
0=x'+y'
，这意味着您始终具有限制
ax+by=cx+dy
，换句话说
y=（c-a）/（b-d）x
。这实际上与原始约束不一致
x+y=1

考虑DEs
x'=ax+by
和
y'=cx+dy
的线性系统。为了使解成为一条直线，它必须在特征向量的方向上，并且必须通过原点。您的约束
x+y=1
是一条不符合这些标准的线，因此两个DEs的任何解都不会满足您的代数方程

PS我想你的原始代码有一个输入错误。你可能想要
{t，010000}
是吗？
首先，t=0时不是这样。好吧，你说得对，让x[0]==0.2和y[0]==0.8。。。我怎么能在任何时候保持这个宽度x[t]+y[t]=1呢？在修正了一些语法之后，你可以替换
{y[t]>1-x[t]，y'[t]>-x'[t]}
并解出
x[t]
的结果方程。谢谢，但是如果
x[t]+y[t]==1
那么
x'[t]=-y'[t]
，你只需要一个方程。另外，
NDSolve[]
仅适用于数值问题（即没有像A、B……这样的符号常量）。对于初学者来说，它不是t