Algorithm 将最长公共子序列缩减为最长递增子序列

如果最多有一个序列重复，我们可以将最长公共子序列问题简化为最长递增子序列问题。减少问题的过程如下所述：

假设您拥有以下序列：

S1 = {D, B, A, C, E}
S2 = {E, Z, X, D, A, Y, C}

然后，创建一个整数序列S3，其中必须将S2的每个元素的位置放在S1中（如果元素在S1中不存在，则忽略该元素）。在示例中：

S3 = {4, 0, 2, 3}
// Z, X and Y in S2 where ignored

然后，只需在S3中找到LIS。要找到原始元素，只需使用LIS中的整数作为S1的索引。例如，在这种情况下，S3的LIS是

{0，2，3}

，其中表示序列

{D，A，C}

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这种方法是如何工作的？为什么这种简化解决了查找最长公共子序列的问题？

考虑到如何构建S3，可以保证S3的元素“仅和所有”指向S1和S2的公共元素

通过使用位置并查找最长的递增的子序列，您可以确保找到的是原始S1和S2的子序列，而不仅仅是它们的共同元素数：

• 这将是S1的子序列，因为S3中元素的数值编码S1中的位置，因此增加S3的子序列=S1的子序列
• 它将是S2的子序列，因为S3元素中编码的元素与S2元素的顺序相同，因此S3的子序列=S2的子序列

因此，S3的最长递增子序列将“编码”：

• S1的子序列
• S2的子序列
• 仅包含S1和S2中存在的元素的序列
• 最长的子序列

i、 e.S1和S2之间的最长公共子序列

您可以使用所描述的过程对其进行“解码”，即使用索引=S3元素的S1元素

注意：正如链接中指出的，这仅在最多一个序列有重复时有效，并且在构建S3时，应将没有重复的序列作为S1

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这似乎与更常见的相反。

请您解释一下这一部分：“这将是S2的子序列，因为S3元素中编码的元素与S2元素的顺序相同，因此S3的子序列=S2的子序列”。谢谢通过按顺序获取S2的每个元素来构建S3，如果它也存在于S1中，则将其添加到S3（已编码）。这意味着S3只是S2，删除了一些编码形式的元素（非公共元素）；因此，S3的每个子序列必然编码S2的子序列。这不适用于S1：S3的子序列可能不编码S1的子序列。这就是为什么对于S1，我突出显示了递增部分，而对于S2，我突出显示了最长递增子序列的子序列部分。