Algorithm 基于BFS的图最小生成树

这是我正在努力解决的一个练习考试的问题：

设G=（V，E）是一个加权无向连通图，具有正 权重（您可以假设权重是不同的）。给一个真正的 数字r，定义子图Gr=（V，{e在e|w（e）O（m）中） 而true do=>O（m） Gr=G，边e | w（e）>r移除=>O（m） 如果| BFS（Gr）.V |<| V |=>O（m+n） r++（或r=次最小的w（e）） 其他的 返回r

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这是一个巨大的O（m^2+mn）。有没有办法把它归结为O（mlogn）？谢谢！

下面的算法呢

首先从图中获取所有边（或所有不同的边长度，使用）的列表并对它们进行排序。这需要O（m*logm）=O（m*logn）时间：m通常小于n^2，因此O（logm）=O（logn^2）=O（2*logn）=O（logn）

很明显，r应该等于某条边的权重，因此可以在排序数组中对边的索引进行二进制搜索

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对于您尝试的每个索引，您将对应边的长度作为r，并检查图的连通性，仅使用长度的边，您迭代所有可能的边代价，这将导致O（m）的外循环。请注意，如果在放弃所有边>w（e）时图断开连接，则它也会断开>w（e'）其中

w（e'）

。可以使用此属性对边缘成本进行二进制搜索，从而在O（log（n））中执行此操作

lo=min（w（e）表示边缘中的e），hi=max（w（e）表示边缘中的e）
低（中））：
lo=中
其他：
hi=mid-1
返回lo

二进制搜索的复杂度为O（log（max_e-min_e））（实际上可以将其降到O（log（edges）），丢弃边和确定连通性可以在O（edges+顶点）中完成，因此这可以在O（（edges+顶点）*log（edges））中完成

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警告：我还没有在代码中测试这一点，所以可能会有bug。但是这个想法应该会起作用。

这会更好，但是O（（m+n）logm）仍然>O（mlogn）。还有一个很大的区别，因为logm>logn。几乎就是这样！实际上，O（（m+n）logm）=O（m logn）。m+n=O（m），因为n=O（m）。另外，因为m=O（n^2），O（logm）=O（log（n^2））=O（2 logn）=O（logn）。所以O（（m+n）logm）=O（m logn）。我认为我们不能假设mr = min( w(e) ) => O(m) while true do => O(m) Gr = G with edges e | w(e) > r removed => O(m) if | BFS( Gr ).V | < |V| => O(m + n) r++ (or r = next smallest w(e)) else return r

lo=min(w(e) for e in edges), hi=max(w(e) for e in edges)
while lo<hi:
   mid=(lo+hi)/2
   if connected(graph after discarding all e where w(e)>w(mid)):
       lo=mid
   else:
       hi=mid-1
return lo