Algorithm 乐高积木-动态规划

我试图解决以下DP问题：

您有4种类型的乐高积木，大小为1*1*1、1*1*2、1*1 *3和1*1*4。假设每种类型有无限多个块

你想用这些砖砌一堵高H宽M的墙。 墙上不应该有洞。你建造的墙应该是 一个固体结构。坚固的结构意味着它不应该 可沿任何垂直线分离墙壁，无需切割 用于建造墙壁的任何乐高积木。只能放置块 水平的。这堵墙可以用多少种方法建造

下面是我如何尝试的： 用bcd表示1*1*1、1*1*2、1*1*3和1*1*4块 . 有效模式以粗体表示。无效的图案可以被垂直线打断

H=1&W=3#有效模式=1
aa ab bac

H=2&W=3#有效模式=9

我试图找到重复模式，通过高度或宽度来扩展它，也就是说，找到H=3&W=3或H=2&W=4的值

有关于如何通过身高或体重来计算增长的信息吗？

---

另一方面，墙始终是H*W*1。

不难找到许多1xW条纹（设为N（1，W））。 然后，您可以找到许多HxW墙（包括非实心墙）——它是（H，W）=N（1，W）^H 任何非实体墙都由左H*L墙和右H*（W-L）墙组成。似乎实心墙的数量是有限的

S（H，W）=A（H，W）-和（S（H，L）*A（H，W-L））[L=1..W-1]

---

S（H，L）*A（H，W-L）是在L垂直位置最左侧断裂的非实心墙的数量。第一个因素是实心墙的数量-以消除重复变体的计数。

首先，让我们看看如果我们忽略保持连接的需要，我们可以建造多少M*N墙：

我们可以分别处理每一行，然后将计数相乘，因为它们是独立的

只有一种方法可以平铺

0*1

或

1*1

墙，平铺

n*1

的方法数是平铺

{n-1}*1

的方法数的总和。…

{n-4}*1

大小的墙，原因是可以通过移除

n*1

墙的最后一块来获得这些墙

这就产生了一个tetranacci序列。 所有

W*H

墙的数量为

a（W，H）=T（W）^H

现在，来计算实体墙的数量。MBo的答案已经包含了一个基本前提：

在墙未连接的最左侧位置上的分支。

A

ll W*H墙的数量是

S

olid X*H墙的数量乘以

A

ll

{W-X}*H

墙的数量，求出

X

所有可能值的总和，加上

S

olid W*H墙的数量：

A(W,H) = sum{X=1..{W-1}}(S(X,H)*A(W-X,H)) + S(W,H)

作为最后一步，我们分离出

S（M，H）

项，这是我们要计算的值，并重复前面的公式：

S(W,H) = A(W,H) - sum_x( S(X,H)*A(W-X,H) ) //implicitly, S(1,H)=1

A(W,H) = T(W)^H

T(X)   = X > 0: T(X-1)+T(X-2)+T(X-3)+T(X-4)
         X = 0: 1
         X < 0: 0

S（W，H）=A（W，H）-sum_x（S（x，H）*A（W-x，H））//隐式地，S（1，H）=1
A（W，H）=T（W）^H
T（X）=X>0:T（X-1）+T（X-2）+T（X-3）+T（X-4）
X=0:1
X<0:0

（证明MBo公式正确）

---

这也提供了一个计算

S

的

O（W^2）

算法（假设正确的记忆和恒定时间算术运算）

说明：墙是

M*H*1

块，还是

M*H*inf

块？我假设前者（因此模式的计数是有限的），但是我看不出模式符号是如何工作的。1x3唯一有效的模式是

c

，而不是

b

。我能想到的最好的模式是一个带有

O（4^H）

状态的马尔可夫链。这听起来更像是托盘装载问题，它是NP完全问题。我认为我们不会在多项式时间内找到精确解。@JanDvorak:谢谢你指出。这是个大错误。让我编辑我的Q@SauceMaster这种情况更容易，因为您提前知道托盘尺寸，并且所有托盘都是矩形的，并且是相同尺寸的倍数（并且不能旋转）。更困难的是，你需要让墙物理连接起来。我也这么想，但公式需要证明。你的陈述不应该是“任何非实体墙都由左侧实心H*L墙和右侧H*（W-L）墙组成”@Percy123在这一点上的文字-可能是，但不应该是。稍后我会介绍最左边休息的概念。好的，明白了。。但早些时候引入这个概念只会让它更清楚：）+1是详细的答案。然而，一个小的修正，T（0）=1。否则，对于所有X，T（X）将为0。如果我错了，请纠正我。平铺

n*1

的方法数应该是平铺

（n-1）*1…（n-4）*1

的方法总数，而不是

（n-1）*n…（n-4）*1

，不是吗？你能告诉我如何在

O（W^2）

中实现算法吗？有没有什么技巧可以在恒定时间内计算和（S（x，H）*A（W-x，H））？我想你必须填充所有的S块，它需要

O（W*H）

。对所有X求和的简单实现是

O（W）

，这使得算法

O（W^3）

@MinhPham可以计算

O（W）

每个项的总和<代码>A和

S

都被记录。不过，我假设的是常数时间数学，bignums会根据你的乘法速度将其移到

O（W^3.5）

。注意，在这个递归公式中，

H

是常数。@JanDvorak:明白了。事实上，这个问题要求我们给出模数100000007的结果，这样就不需要bignums了。H是常数这一事实是关键。