Algorithm 背包的变化-精确重量的最小总成本

项目有多种类型（N种类型），每种类型都有重量wi和成本ci。每一个都有无限多个。问题是制作一个重量精确且物品总成本最小的背包。我知道我应该在这种情况下使用动态，但这不是一个常见的背包问题，我找不到关系。我也发现了一些类似的问题，但我还不了解这些解决方案。这里是链接。

---

如何使用DP来解决它？

让f[i]表示，为了得到重量i，最小成本。g[i]表示是否可能精确组合重量i

f[0]=0;g[0]=true;
for (int i=0;i<N;i++)
    for (int j=0;j<W;j++)
        if (g[j]) {
            g[j+w[i]]=true;
            if (f[j+w[i]]==0||f[j+w[i]]>f[j]+c[i])
                f[j+w[i]]=f[j]+c[i];
        }

if (g[W]) return f[W];
else return 0;//impossible

f[0]=0；g[0]=真；
对于（int i=0；i假设你想找到实现
W
权重所需的最小成本，并且
c_i>0
和
W_i>0
那么我们可以将
min_成本（i，W）
定义为仅使用
i
到
N
中权重为
W
的项目即可实现的最小成本


基本情况发生在我们只有一个项目时，因此当
i=N
时。在这种情况下，解决方案是：

min_cost（N，0）=0
因为如果我们不使用项目
N
，那么我们已经有了等于0的权重

min_cost（N，W）=c_i*W/W_i
如果
W
是
W_i
的倍数，即
W mod W_i=0

min_cost（N，W）=无穷大
否则，因为我们无法仅使用最后一项来实现精确的
W
权重

循环关系现在可以表述为：

min_成本（i，W）=min（c_i*k+min_成本（i+1，W-k*W_i））
对于
k=0
直到
W-k*W_i<0


循环关系表示，我们将尽可能多地使用项目
i
，而我们没有使权重大于
W

然后，您可以使用递归算法来实现此方法，使用并存储您认为适合的实际解决方案（递归中的
k
s）

编辑根据建议，如果我们注意到有两种情况会影响
min\u成本（i，W）
，则可以实现加速。这种情况首先是当根本不需要使用第i项时，即
min\u成本（i+1，W）
以及当我们将至少使用第i项时，这与
min\u成本相同（i，W-W_i）
因为我们可能会多次使用项目
i
。这将我们的重复次数更改为以下内容：

min_cost(i, 0) = 0         // We already reached our goal
min_cost(i, W) = Infinity  // if (W < 0 or i > N) then we can't get to W

min_cost(i, W) = min(min_cost(i+1, W), min_cost(i, W - w_i) + c_i)

minu成本（i，0）=0//我们已经达到了目标
最小成本（i，W）=无穷大//如果（W<0或i>N），则我们无法到达W
最小成本（i，W）=最小（最小成本（i+1，W），最小成本（i，W-W）和最小成本（c）
这里有一个加速：如果对于给定的i，您以递增的顺序计算权重，那么要计算
最小成本（i，W）
您只需要尝试将项目i的0个实例添加到项目i+1..N的最优解中，或者将项目i的1个实例添加到项目i..N的最优解中（你已经计算过了，因为它的权重较低）：
min_cost（i，W）=min（min_cost（i+1，W），min_cost（i，W-W_i）+c_i）
。在所有权重都为1的最坏情况下，这会杀死W的一个因子。我在答案中添加了加速比。加速比很好，而且更简单，谢谢！不客气！如果你写e.g。“@j_random_hacker”在评论中的某个地方，它会通知那个人。我之所以注意到你的评论，是因为我是出于虚荣才回来的：-P@GustavoTorres，你有没有机会看看这个-？谢谢。这个算法真的考虑到了无界性吗？（每种类型都有无限多个可用）.我不太明白它是怎么回事？