Algorithm 对二叉索引树概念的理解较少

我在互联网上读了2-3本（又名芬威克树）的教程，但我不明白它到底做了什么，以及

BIT

背后的想法是什么。 我读的教程是

• ，由

---

请帮助我了解

BIT

二叉索引树是一种数据结构，允许通过前缀检索值。我对二叉索引树的理解是，它们或多或少类似于尝试。例如，假设您有三个数字1323、1697和1642。您可以将数字存储在树中：

1-3-2-3  
 -6-9-7  
   -4-2

其中每个节点代表一个10秒的位置。现在你可以查任何电话号码，就像你可以在电话簿上一个字母一个字母地查名字一样。这里，每个节点的长度为10秒，但您可以选择不同的基准，以使表示尽可能紧凑。例如，您可以使用基数8，在这种情况下，每个节点存储4位

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此数据结构允许您轻松添加数字。例如，假设您要添加数字#1（1323）和#3（1642）。然后从表示每个数字的叶子开始，向上计算，再乘以基数的幂（这里是10）：3+2，然后（2+4）*10，然后（6+3）*100，然后（1+1）*1000。

顶级编码器文章不太清楚。这是一个可以让你开始的好主意

位用于存储从整数到整数的密集映射

f[i]

，其中

i>=1

，您感兴趣的是检索映射域范围内的和，即对于任意

a

和

b

，求和{i=a..b}f[i]。如果您使用C语言编写代码，这将是：

sum = 0; for (i = a; i <= b; i++) sum += f[i];

其中

d

是

k

的值，除最低阶位外，所有位均设置为零。例如，如果

k=8

，则

d=8

。如果

k=14

，则

d=2

，以此类推

注意，没有显式树。该树符合逻辑，如教程图片所示。唯一的存储是数组

g

为什么这是个好主意？事实证明，要找到

sum_{i=a..b}f[i]

，您最多只需将

2个上限（log（b+a））

元素的

g

相加即可。这些元素可以通过分析

a

和

b

的二进制1位来确定。教程中显示了详细信息

最简单的例子是：如果您想要

sum_{i=1..p}f[i]

，那么构建一系列索引

p_1

，

p_2

p_n

其中

p_1=p

和

p_（i+i）

通过从

p_i

中移除最低阶1位而形成。因此，

n

比

p

二进制表示中的1少一个。现在只需计算

sum_{k = p_1, p_2 ... p_n} g[k]

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如果你尝试一下，想一想这一点（双关语），你就会明白它为什么会起作用。

二元索引树也称为芬威克树，我认为二元索引树比芬威克树更不为人所知，所以当我们发现二元索引树时，我们发现的材料更少，但这正是我的感觉

简单地说，Fenwick树（也称为二叉索引树）是一种数据结构，它维护一系列元素，并且能够在O（logn）时间内计算任意范围的连续元素的累积和。更改任何单个元素的值也需要O（logn）时间。 该结构具有空间效率，因为它需要与n个元素的简单数组相同的存储量

可以在网上的不同地方找到一个实际的例子来说明上述情况，即

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网络上还有更多的例子…

比特是一件非常奇妙的事情，理解它的关键是了解快速分段算法的工作原理

快速分段算法和数据结构的基本思想是“跳过”一些东西。想想一个整数数组a[1..n]。现在你需要另一个数组C[1..n]，在C[i]中包含C[i]，C[i-1]到C[k（i）]（k是某种神奇的函数（O-O））

当你想得到[1..i]的和时，你可以写：

    int get_sum(int i) {
        if (i == 0)
            return 0;
        return get_sum(k(i)-1)+C[i];
    }

很容易理解耶？我们只使用C[i]=sum（a[k（i）…i]）而不是遍历整个段。当我们想要更改某个元素时，我们使用一个名为“add（pos，i）”的数组表示在[pos]中添加i：

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（k’（x）是一个函数，返回k（y）的最小y>=x这类问题不适合SO的问答形式。如果你没有理解已经阅读的教程，我很难向你解释。不过，我建议你编写一个程序来实现二叉索引树。编程不是一项旁观者运动，边做边学是一种很好的学习方式。正如你写代码，不停地问自己，不仅仅是代码在做什么，还有为什么。好吧，我试着用那个教程来编写代码，但是没有任何概念的感觉，编码变得枯燥，这就是为什么我发布这个问题。这不是一个好主意，编程时不知道该做什么。在BIT的情况下完全错误。这样的结构是抽象不喜欢UI开发，原型设计很有帮助。@FreakyCheeky您所指向的网站看起来很简单，提供的信息也足够多。您应该从描述它的哪一部分很难理解开始。在我看来，似乎没有投入足够的精力/时间来真正理解它。@mmgp我不知道grre，介绍没有很好地解释。细节解释得更好。你也应该试着找其他文章。（可能）在阅读了你的答案和topcoder博客多次之后，原版人理解了整个算法。但我的问题是，这棵树是如何工作的，从何而来，我想知道这个数据结构背后的基本思想。还有一个问题，开始构建树数组的复杂性是什么？在同一页上有一个问题关于卡片的问题（问题2）。请解释一下

    int get_sum(int i) {
        if (i == 0)
            return 0;
        return get_sum(k(i)-1)+C[i];
    }

    void add(int pos, int i) {
        if (pos <= n) {
            C[pos] += i;
            add(k'(pos), i);
        }
    }

    (110100)2 --BIT--> (100)2
    (111)2    --BIT--> (1)2
    (100000)2 --BIT--> (100000)2

    BIT(x) = x & ((~x) + 1)

    k(i) = i-BIT(i)+1
    k'(i) = i+BIT(i)