Algorithm 如果删除一条边，如何从旧MST更新MST

我正在学习算法，我看过这样的练习

我可以用指数时间解决这个问题，但是。我不知道如何证明这个线性时间O（E+V）

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我将非常感谢您的帮助。

当您删除其中一条边时，MST将分为两部分，我们将它们称为

a

和

b

，因此您可以做的是迭代零件

a

的所有顶点，并查找所有相邻边，如果任何边在零件

a

和零件

b

之间形成链接，则您已找到新的MST

伪代码：

for(all vertices in part a){
    u = current vertex;
    for(all adjacent edges of u){
        v = adjacent vertex of u for the current edge
        if(u and v belong to different part of the MST) found new MST;
    }
}

复杂性是O（V+E）

注意：您可以保留一个简单的数组来检查顶点是否位于MST的

a部分或
b部分

还要注意，为了获得O（V+E）复杂度，需要有图的邻接列表表示。
假设在删除边后有图G'。G’由两个相连的部件组成

让图中的每个节点都有一个组件ID。根据节点所属的组件为所有节点设置componentID。这可以通过一个简单的BFS来实现，例如在G'上。这是一个O（V）操作，因为G'只有V节点和V-2边

标记所有节点后，迭代所有未使用的边，并找到连接两个组件的权重最小的边（两个节点的组件将不同）。这是一个O（E）操作

因此，总运行时间为O（V+E）。
设G为嵌入最小生成树T的图；假设A和B是从T中移除（u，v）后剩下的两棵树

前提p：从重新连接A和B的G-（u，v）中选择最小权重边（x，y）。然后T'=A+B+（x，y）是G-（u，v）的MST

p的证明：很明显，T'是一棵树。假设它不是最小值。然后会有一个重量更小的MST，称之为M。M要么包含（x，y），要么不包含

如果M包含（x，y），那么它必须具有形式A'+B'+（x，y），其中A'和B'是跨越与A和B相同顶点的最小权重树。这些树的权重不能小于A和B，否则t就不是MST。所以M不小于T，毕竟，这是一个矛盾；我不可能存在

如果M不包含（x，y），那么在M中存在从x到y的其他路径p。p的一条或多条边从a中的一个顶点传递到B中的另一个顶点。称这种边为c。现在，c的重量至少是（x，y）的重量，否则我们会选择它而不是（x，y）来形成T’。注P+（x，y）是一个循环。因此，M-c+（x，y）也是一个生成树。如果c的权重大于（x，y），那么这棵新树的权重将小于M。这与M是MST的假设相矛盾。再说一次，我不可能存在

因为在这两种情况下，M都不存在，所以t'必须是MST。量化宽松

算法
遍历A并将其所有顶点涂成红色。类似地，将B的顶点标记为蓝色。现在遍历G-（u，v）的边列表，以找到连接红色顶点和蓝色顶点的最小权重边。新的MST是这条边加上A和B。
可能重复了很好的解释，但我有一个问题，为什么“A'和B'分别跨越与A和B相同的顶点”而不是“A'和B'跨越与A和B相同的顶点”？@soulomoon Right。谢谢固定的。