Algorithm 如果背包是指数的，为什么从1到n的循环是线性的？

我在这里读了很多关于StackOverflow的问题，他们都提出了一个很好的观点：背包问题的DP方法的复杂性是O（nW），它是W中位数的指数。也就是说，如果我再向W添加一个位，我需要两倍的循环

算法大致如下：

For i = 0 to n
   For w = 0 to W
      //Stuff

但是如果我看一个像从1到n（=n（n+1）/2）求和这样的算法，我只会有一个for循环。如果我将表示n所需的位数增加1，那么我需要做两倍的循环。那么这也是指数吗

我唯一可能的理解是，在这种情况下，输入的大小是“n”，而在背包中，输入的大小是表示W所需的位数。但是，。。。为什么？为什么这两种尺寸不同？这些环看起来是一样的

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谢谢

是的，您给出的从1到n求和的算法在其输入（即O（log（n））位的大小上需要指数时间，就像背包DP算法一样。这两种算法通常被称为“伪多项式”算法，因为尽管它们在输入大小上采用时间指数，但它们在输入值上仍然只采用时间多项式。好问题，顺便说一句。另一个例子是：要将给定的数字k作为因子，只需运行从1到k的循环变量i，试图在每次迭代时将k除以i。整数除法是多项式时间，所以这似乎表明整数的因式分解也是多项式时间。。。但它不是，因为输入k的大小不是k，它只是O（logk）位。谢谢，我想我明白了。我必须看看输入的大小。我仍然很确定我听到有人说求和算法是线性的，这并没有让我震惊。。。有没有像“价值的复杂性”和“规模的复杂性”这样的东西？或者只是人们弄错了？感谢是人们经常感到困惑的事情。问题的一部分在于，没有一种完全清晰、正式的方式来编码问题的输入。。。只是（通常）一种“标准”编码。例如，如果要声明权重W必须以一元形式指定（即作为1位序列），则需要O（W）位来编码值W，因此运行时间O（nW）在输入大小n+W中确实是多项式；-）是的，您给出的从1到n求和的算法在其输入（即O（log（n））位的大小上需要指数时间，就像背包DP算法一样。这两种算法通常被称为“伪多项式”算法，因为尽管它们在输入大小上采用时间指数，但它们在输入值上仍然只采用时间多项式。好问题，顺便说一句。另一个例子是：要将给定的数字k作为因子，只需运行从1到k的循环变量i，试图在每次迭代时将k除以i。整数除法是多项式时间，所以这似乎表明整数的因式分解也是多项式时间。。。但它不是，因为输入k的大小不是k，它只是O（logk）位。谢谢，我想我明白了。我必须看看输入的大小。我仍然很确定我听到有人说求和算法是线性的，这并没有让我震惊。。。有没有像“价值的复杂性”和“规模的复杂性”这样的东西？或者只是人们弄错了？感谢是人们经常感到困惑的事情。问题的一部分在于，没有一种完全清晰、正式的方式来编码问题的输入。。。只是（通常）一种“标准”编码。例如，如果要声明权重W必须以一元形式指定（即作为1位序列），则需要O（W）位来编码值W，因此运行时间O（nW）在输入大小n+W中确实是多项式；-）