Algorithm 动态规划算法：网格行走

在即将到来的考试中，我得到了一些练习题。我已经得到了这个问题的解决方案，在这张图片中有描述

对于这个解决方案真的没有任何解释

我很好奇我怎么能在这里找到答案。我想我可以创建一系列子问题，比如

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从A->C，A->D，A->E遍历，然后根据前面的解算出A->B。但是我完全迷路了。

首先，只有R=right和U=up步数，从（0,0）到（x，y）有多少种方法？（不限制不通过其他点。）每个路径的长度为x+y，并包含x R和y U，因此有binom（x+y，x）或binom（x+y，y）方法来实现

使用此信息，您可以计算从A-B（称为nAB）、从A-C（称为nAC）、从A-D。。。etc（所有成对的组合）。请注意，没有从C到D的路径（因为您不能向下），也没有从D到C的路径，因为您不能向左走

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现在，使用包含排除。这样做的目的是减少不良案例。例如，一个坏的情况是从a开始，经过C，然后到B。有多少种方法可以做到这一点？nAC x国家编目局。另一个坏案例是通过E，有很多方法可以做到这一点。。。减去它们。那么通过D也是不好的。有nAD x nDB的方式结束在B通过E。。。把这些也减去。现在，问题是你减去了太多（通过两个坏点的路径）。。。所以把这些加进去。有多少点经过C和E，最后到达B？nAC x nCE x nEB，把它们加进去。通过D和E有多少点？nAD x nDE x nEB，把这些加进去。原则上，你可以减去通过这三条路径的路径，但是没有一条路径。

这个问题可以用手工解决，方法非常类似于你计算中的数字。在这个三角形中，每个数都是它上面两个数的和。类似地，在您的例子中，到达某一点的方法数（使用最短路径）只是到达其左侧点和其下方点的方法数之和。使用ASCII艺术进行演示：

1 -> 1 -> 7 -> 7 ->14
^         ^         ^
|         |         |
1    C    6    E    7
^         ^         ^
|         |         |
1 -> 3 -> 6 -> 6 -> 7
^    ^    ^         ^
|    |    |         |
1 -> 2 -> 3    D    1
^    ^    ^         ^
|    |    |         |
A -> 1 -> 1 -> 1 -> 1

因此，要计算某个字段的路径数，首先需要知道其左侧和下方两个子问题的答案。这是一个可以用动态规划解决的问题的教科书示例。实现这一点的唯一棘手之处是如何处理禁止的点和边。在实践中可以这样做的一种方法是将所有边和禁止点初始化为零，并将点A初始化为1：

0 -> 
          ^         ^
          |         |
0 ->      0 ->      0 ->


0 -> 
                    ^
                    |
0 ->                0 ->
     ^
     |
     1 ->
          ^    ^    ^    ^
          |    |    |    |
          0    0    0    0  

从这里开始，您可以使用简单的求和计算所有缺少的字段，从左下角的点a开始，一直计算到右上角的点B：

0 -> 1 -> 1 -> 7 -> 7 ->14
     ^    ^    ^    ^    ^
     |    |    |    |    |
0 -> 1    0 -> 6    0 -> 7
     ^         ^         ^
     |         |         |
0 -> 1 -> 3 -> 6 -> 6 -> 7
     ^    ^    ^    ^    ^
     |    |    |    |    |
0 -> 1 -> 2 -> 3    0 -> 1
     ^    ^    ^         ^
     |    |    |         |
     1 -> 1 -> 1 -> 1 -> 1
          ^    ^    ^    ^
          |    |    |    |
          0    0    0    0

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是否必须是最短路径（即始终长度为8），或者是否允许绕道？这可以完全使用计数技术和包含排除原则来完成，无需编码。如果这能回答你的问题，我很乐意发布详细信息。不必是最短的路径。它想知道有多少条不同的路径可以到达B，而不是有多少条不同的最短路径。好吧，我手工计算，正好有14条最短路径，所以如果你也可以计算长度超过8的路径，应该会有更多…有趣的是，我猜一定是最短路径。作为一个具体的例子，nAB=binom（4+4，4）=70；因为你向上移动4，向右移动4，所以x和y=4。nAC=binom（3+1，1）=4；因为你向上移动3，向右移动1，x=1，y=3。你或多或少用组合逻辑做了一个完整的计算。这当然是一种计算答案的有效方法，但我不确定它是否算作动态规划，因为这都是关于解决子问题的。然而，有趣的是，计算二项式系数的一种方法是使用Pascal三角形：）。我认为，如果与网格大小相比，必须避免的点数相对较少，那么这种方法将胜过动态规划解决方案。在这种情况下，这可能是一个掷硬币。这里的瓶颈是计算每对点的nXY（开始、结束、避免）。。。如果有很多，这一步会很耗时。事实上，我担心你的技术在20x20网格上没有很好的扩展，比如说有10个禁止点。我的技术的运行时间与网格中的点数成简单的线性关系。由于计数方法给出的“特殊”点的数量是二次的，因此只有当特殊点的数量不超过sqrt（网格大小）时，计数方法才会“更好”。