Algorithm 离散概率分布算法的采样

我正在解决Sedgewick书中的一个任务：

使用构造函数编写一个类示例，该构造函数接受数组p[]的 双值作为参数，支持以下两种操作： random（）-返回概率为p[i]/T的索引i（其中T是 p[]中的数字总和）

我认为有一个简单的解决方案：将所有边界值存储在数组中，并找到第一个低于随机样本的值，例如，我们有（值，权重）对：（1，10.0），（2，20.0），（3，10.0），（4，10.0）。我们把它转换成 （1,0.0），（2,10.0），（3,30.0），（4,40），对随机值[0-50]（例如，35）进行采样，发现它大于30，所以答案是“3”

但书中有一个建议：

使用一个完整的二叉树，其中每个节点都有隐含的权重p[i]。 在每个节点中存储其内部所有节点的累积权重 子树。若要生成随机索引，请选择介于0和0之间的随机数 和T，并使用累积权重确定 要探索的子树

我在github上看到了这个解决方案：

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但我不明白它为什么会起作用：我们不需要表示范围，而是用一些树来表示节点，比如（3，10），（4，10），搜索距离随机样本最近的节点如何帮助找到正确的节点？

你的想法是对的，但不是很正确。你想做什么。您所考虑的逐步函数是给定离散分布的逆累积密度函数（cdf）。更传统的做法是将搜索值写在间隔[0..1]的X轴上。对于1、2、3和4，权重分别为1/5、2/5、1/5和1/5。您希望将间隔拆分为如此大小的片段，并将这些间隔映射到各自的值：

[0   .. 1/5) ->  1   // Note interval widths are 1/5,2/5,1/5,1/5 as desired.
[1/5 .. 3/5) ->  2
[3/5 .. 4/5) ->  3
[4/5 ..   1) ->  4

正如您所说，将区间的顶部及其值存储在一个数组中就足够了

struct IntervalTop {
  double r;
  int value;
} cdf[] = {{.2, 1}, {.6, 2}, {.8, 3}, {1.0, 4}};

现在在[0..1]中生成一个随机值，并查找相应的子区间以确定该值。例如，0.1在第一个区间中，因此返回1.0.7在第三个区间中，因此返回3。简单的线性搜索对初学者来说是可行的：

double r = ... // Compute random double 0.0 <= r < 1.0 .
for (int i = 0; ; ++i)
  if (cdf[i].r > r) 
     return cdf[i].value;

实际上，算法不需要权重（这就是为什么s说它们是“隐式的”），但在这里包含权重可以更容易地看到发生了什么

如上所述，您将在[0..1]中生成一个随机数r，但在这里您将使用r的值作为指导搜索树

您可以通过查看tree.t、tree.left.t和tree.right.t（缺少的子项相当于.t值为零）并使用这些值来做出与上面的二进制搜索相同的决定

我就到此为止，这样你的乐趣就不会被破坏了

                  ____3(w=1/5,t=1)____
                 /                     \
        2(w=2/5,t=3/5)           4 (w=1/5,t=1/5)
        /
1(w=1/5,t=1/5)