Algorithm 赢得绞刑的最优算法

在游戏《刽子手》中，贪婪的字母频率算法是否等同于最佳获胜概率算法

有没有一种情况值得为了更好地猜测正确答案而牺牲你的余生

进一步澄清问题：

• 要猜测的选定单词取自已知词典
• 你有N条生命，因此必须最大限度地猜测单词中的所有字母，而不犯N个错误（即，你可能有无限数量的正确猜测）
• 为了进行此练习，词典中的每个单词都有相同的概率（即，该单词是随机选择的）
  • 一个更难的练习是想出一个对付恶意的、无所不知的选词者的策略（我不是在问这个）

动机：这个问题的灵感来自于在

他们提出了一个算法来优化解决单词游戏“刽子手”

他们的策略可以总结如下（编辑以澄清）：

• 我们可以假设这个词是从一本特定的词典中提取出来的
• 我们知道这个单词的字母数
• 删除字典中所有字母数不正确的单词
• 选择尚未猜到的字母，该字母出现在词典剩余子集的最大单词数中
• 如果这封信出现了，我们知道它的位置
• 如果这个字母没有出现，我们知道它不会出现在单词中
• 删除字典子集中不完全符合此正确模式的所有单词，然后重复
• 如果有2个（或更多）字母出现的频率相同，则算法可能会对位置进行更深入的分析，以确定哪一个是首选字母（如果合理的话？）

在每个阶段，我们都在猜测剩余可能单词中出现最多的字母（以前没有猜到）

喜欢这种算法有一定的动机——我们失去生命的可能性总是最小的

但是，我觉得这不一定是最好的解决方案：如果我们试图猜测单词（在一定数量的生命中），不一定总是最频繁出现的字母是区分剩余可用单词的最有用的字母

不过，我不确定，因为这似乎是避免失去生命的最佳时机。最优策略是否会让我们为了更好的获胜机会而牺牲生命

问：这种贪婪算法是否等同于最佳获胜概率算法？ 你能证明吗

---

字典+游戏的例子可以很好地说明反证。

不，这个贪婪算法根本不是最好的，我可以通过给出更好的解决方案来证明：

在每一步中，我们知道字母的数量，也知道一些字母。我们从一组单词中选择所有的单词，这些单词在给定的位置有给定的字母，并且它们的长度与所讨论的单词的长度相匹配。我们从选定的单词子集中选择最频繁的字母，并猜测给定的字母。对于每一次猜测，被猜测的字母都将被标记为猜测，并且将来不会再被猜测。这样，您的生存机会比您问题中描述的贪婪算法要好得多

编辑：

在澄清了问题并制定了进一步的规范之后，我得出结论，该算法是最优的

如果我们有n个给定长度的单词，包含所有正确的猜测（“好字母”）而不包含任何错误的猜测（“坏字母”），那么x生命，我们可以查看仍然可能的单词中字母的频率，并选择频率最大的字母，让我们假设y个单词包含字母

在这种情况下，这个猜测的置信率是y/n，这比任何其他字母的置信率都大，这就提供了更高的生存机会。因此，这样一个步骤是最优的。如果你按照这种精神做了一系列只包含步骤的步骤，那么这些步骤也是最优的，所以这个算法是最优的

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但是，如果我们有任何额外的信息（比如单词的描述，或者知道在短时间内有两个相同单词的概率），该算法可以基于额外的信息进行增强，单词集中的所有单词都将有一个适应值（基于额外信息的概率）单词中的所有字母类型都将根据适合度评分进行加权。

选择一个字母，将剩余的有效单词分成两组大小几乎相等的字母。有了位置信息，可能会有两个以上的集合。重复此操作，直到您的套装大小为1。这是最好的办法。证据留作练习。

关于你尝试猜测单词而不是尝试猜测字母的想法，确实可能有一些孤立的情况，你从第一次尝试或类似的情况猜测单词，但这并不能使算法在一般情况下更好。这是关于预期概率的

可以对该算法进行一些改进（在Lajos发布的版本中），即选择一些更明智的字母进行尝试。
这可以通过增加一个权重来实现：考虑每个单词的用法。 例如，技术、医学、司法等词汇的使用几率要低得多

以本词典为例（附带一些用法权重示例）：

此处

e

是最常见的字母，因此会被选中。这意味着只留下医学术语，这是非常不可能的。但如果由以下人员作出决定：

weight(letter) = w * frequency +
              (1 - w) * sum( usage_weight(word) where letter in word )

然后，很可能会选择

t

weight(letter) = w * frequency +
              (1 - w) * sum( usage_weight(word) where letter in word )

weight(e) = 0.2 * 3   +   0.8 * (1 + 2 + 1)
          = 3
weight(r) = 0.2 * 3   +   0.8 * (1 + 2 + 6)
          = 7.8
weight(t) = 0.2 * 3   +   0.8 * (1 + 5 + 6)
          = 10.2

cATs
bATs
rATs
vATs
sATe
mole
vole
role

letters, lives, 1-greedy, 2-greedy, 3-greedy, 4-greedy


2 letters 0 lives   3.1%    3.1%    3.1%    3.1%
2 letters 1 lives   7.2%    7.2%    7.2%    8.3%
2 letters 2 lives   13.5%   13.5%   13.5%   14.5%
2 letters 3 lives   21.8%   21.8%   22.9%   22.9%
2 letters 4 lives   32.2%   33.3%   33.3%   33.3%
2 letters 5 lives   45.8%   45.8%   45.8%   45.8%
2 letters 6 lives   57.2%   57.2%   57.2%   57.2%
2 letters 7 lives   67.7%   67.7%   67.7%   67.7%
2 letters 8 lives   76%     76%     76%     76%
2 letters 9 lives   84.3%   84.3%   84.3%   84.3%
2 letters 10 lives  90.6%   91.6%   91.6%   91.6%


3 letters 0 lives   0.9%    1.1%    1.1%    1.1%
3 letters 1 lives   3.4%    3.8%    3.9%    3.9%
3 letters 2 lives   7.6%    8.4%    8.6%    8.8%
3 letters 3 lives   13.7%   15%     15.1%   15.2%
3 letters 4 lives   21.6%   22.8%   23.3%   23.5%
3 letters 5 lives   30.3%   32.3%   32.8%   32.8%
3 letters 6 lives   40.5%   42%     42.3%   42.5%
3 letters 7 lives   50.2%   51.4%   51.8%   51.9%
3 letters 8 lives   59.6%   60.9%   61.1%   61.3%
3 letters 9 lives   68.7%   69.8%   70.4%   70.5%
3 letters 10 lives  77%     78.3%   78.9%   79.2%


4 letters 0 lives   0.8%    1%      1.1%    1.1%
4 letters 1 lives   3.7%    4.3%    4.4%    4.5%
4 letters 2 lives   9.1%    10.2%   10.6%   10.7%
4 letters 3 lives   18%     19.4%   20.1%   20.3%
4 letters 4 lives   29.6%   31.3%   32.1%   32.3%
4 letters 5 lives   42.2%   44.8%   45.6%   45.7%
4 letters 6 lives   55.2%   58.2%   59.1%   59.2%
4 letters 7 lives   68%     70.4%   71.1%   71.2%
4 letters 8 lives   78%     80.2%   81%     81.1%
4 letters 9 lives   85.9%   87.8%   88.4%   88.7%
4 letters 10 lives  92.1%   93.3%   93.8%   93.9%


5 letters 0 lives   1.5%    1.8%    1.9%    1.9%
5 letters 1 lives   6.1%    7.5%    7.9%    8%
5 letters 2 lives   15.9%   18.3%   18.9%   19.2%
5 letters 3 lives   30.1%   34.1%   34.8%   34.9%
5 letters 4 lives   47.7%   51.5%   52.3%   52.5%
5 letters 5 lives   64.3%   67.4%   68.3%   68.5%
5 letters 6 lives   77.6%   80.2%   80.6%   80.8%
5 letters 7 lives   86.9%   88.6%   89.2%   89.4%
5 letters 8 lives   92.8%   94.1%   94.4%   94.5%
5 letters 9 lives   96.4%   97.1%   97.3%   97.3%
5 letters 10 lives  98.2%   98.6%   98.8%   98.8%


6 letters 0 lives   3.2%    3.7%    3.9%    3.9%
6 letters 1 lives   12.6%   14.3%   14.9%   15%
6 letters 2 lives   29.2%   32.2%   32.8%   33%
6 letters 3 lives   50.1%   53.4%   54.2%   54.4%
6 letters 4 lives   69.2%   72.4%   73.1%   73.2%
6 letters 5 lives   83.1%   85.5%   85.9%   86.1%
6 letters 6 lives   91.5%   92.9%   93.2%   93.2%
6 letters 7 lives   95.8%   96.5%   96.7%   96.8%
6 letters 8 lives   97.9%   98.3%   98.4%   98.5%
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