Algorithm 棘手的算法问题

可能重复：

输入：未排序数组A[1，…，n]，它包含范围0，…，n中除一个外的所有整数

问题是确定O（n）时间内缺少的整数。A的每个元素都是 以二进制表示，唯一可用的操作是函数位（i，j），它 返回[i]的第j位的值，并采用恒定时间

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有什么想法吗？我认为某种分而治之的算法是合适的，但我想不出我到底应该做什么。提前谢谢

这是一个数学性质，

1

和

n

之间的数字之和，其中

n

是

n（n+1）/2

。您可以在

10

中看到这一点：

  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
= (1+10) + (2+9) + (3+8) +(4+7) + (5+6)
= 11 + 11 + 11 + 11 + 11
= 55

因此，通过扩展，它是从

0

到

n

的数字之和，因为您只是将0添加到它。所以你要做的就是把所有的数字加起来并保持一个计数，然后用这个公式来计算出缺失的一个

比如说：

count = 0
sum = 0
foreach num in list:
    sum = sum + num
    count = count + 1
missing = count * (count+1) / 2 - sum

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使用

位（i，j）

获取数字是一件棘手的事情，因此您必须单独提取位并将其转换为实际数字进行求和。

这是一个棘手的问题，因为使用bit方法只需要为每个数字循环每个位，这意味着它将自动变为O（n*j）其中j是表示n的位数

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我想paxdiablo已经知道了，假设允许您使用不使用位方法的解决方案。

您可以使用XOR运算符，因为它比加法更快。因为您可以访问每一位，所以这里将执行按位异或。 这里使用的原理是（A XOR B XOR A）=B

例如：（1xor2xor3）XOR（1xor2）=3

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如果位（i，j）是唯一可用的操作，您建议如何实现分治算法？@a.雷克斯：您链接的可能的重复对指令没有相同的限制，因此我认为它不一定是重复。这不是重复。在这个问题中，您只需要读取输入A的n个log n位中的O（n）。如果这是唯一的约束（即，如果位（i，j）之外的操作是自由的，那么您仍然可以使用分治算法来解决它，比如：算法的注释大小描述是计算奇偶数的数量，检查哪个计数与从0…n中得到的计数不匹配，并在丢弃最低位后对输入的那一半进行递归。这不是的重复，paxdiablo的答案是错误的，Reid解释道。里德的算法是O（n），如果你在计算的时候在每一半中保留一个元素的列表。事实上，这很漂亮，+1。你不能肯定XOR会比加法快，但它是对使用XOR查找单例的大多数变体中的两个/一个（例如，

91918282736455

）的巧妙修改。XOR永远不会比加法慢。。。原因：除此之外，还有一个携带位需要一个全加器加上一个步骤……在现代体系结构中，它被使用具有几乎相同性能的并行加法器消除（xor在此操作中使用1个较小的门）。对于1到n的xor，有一个O（1）公式。XOR也避免了溢出问题。Neil，从技术上讲，这仍然是

O（n）

，因为

j

是一个常量。实际上，j是常量，因为整数或long的长度总是相同的，但是j的有效位以n*2递增1，其中n>0。更像O（logn）。它读取A的所有n个logn位，因此需要n个logn时间。@Reid:不，它根本不是n个logn。不能同时使用n表示位数和整数数。整数中的位数是恒定的，因此它实际上是

O（32n）

（对于32位数字），这与

O（n）

完全相同。我很确定，当OP写入“整数”时，它们的意思是“整数”，而不是“小于2^32的整数”。否则，只有有限多个可能的输入，所以谈论渐近运行时根本没有意义。很明显，一个以位为单位的实际数学整数的长度并不是恒定的。我很确定整数意味着一个固定宽度的整数，即32位或1024位，而不是一个基于整数值的可变长度整数。这是因为这是一个编程问答网站，固定宽度架构的数量远远超过可变宽度架构的数量：-）无论固定宽度是32还是任何其他常数，都不重要，它仍然是一个常数。我可能错了，但基于证据的优势，我对此表示怀疑。如果您想要澄清，请随时询问OP。如果结果证明我错了，我将删除或编辑以修复。

for i=0 to n
{
Total=Total XOR i
}

foreach element in A
{
Total=Total XOR element
}