Algorithm 将点集分组到最近的点对

我需要以下问题的算法：

给我一组平面上的二维点p={（x_1，y_1），（x_2，y_2），…，（x_n，y_n）}。我需要按照以下方式将它们分组：

在P中找到两个最近的点（x_a，y_a）和（x_b，y_b）

将该对添加到结果集R

从P

如果初始设置P不为空，则转至步骤1

对的返回集R

那个朴素的算法是O（n^3），使用更快的算法搜索最近邻，它可以改进为O（n^2 logn）。能做得更好吗

如果这些点不在欧几里德空间呢

示例（结果组用红色循环圈起来）：

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将所有点放入（time

O（n log（n））

）中，然后为每个点计算到其最近邻居的距离。将点和初始距离放入优先级队列。初始化一组空的已删除点和一组空对。然后执行以下伪代码：

while priority_queue is not empty:
    (distance, point) = priority_queue.get();
    if point in removed_set:
        continue
    neighbor = rtree.find_nearest_neighbor(point)
    if distance < distance_between(point, neighbor):
        # The previous neighbor was removed, find the next.
        priority_queue.add((distance_between(point, neighbor), point)
    else:
        # This is the closest pair.
        found_pairs.add(point, neighbor)
        removed_set.add(point)
        removed_set.add(neighbor)
        rtree.remove(point)
        rtree.remove(neighbor)

优先级队列不为空时：
（距离，点）=优先级_queue.get（）；
如果点位于已删除的集合中：
持续
邻居=树。查找最近的邻居（点）
如果（点、相邻点）之间的距离<距离_：
#前一个邻居已删除，请查找下一个邻居。
优先级队列。添加（（点、邻居、点之间的距离）
其他：
#这是最接近的一对。
找到\u对。添加（点、邻居）
已删除\u集。添加（点）
已删除\u集。添加（邻居）
删除（点）
删除（邻居）

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最慢的部分是最近邻搜索。R-树不能保证这些最近邻搜索是

O（log（n））

。但它们往往是。此外，也不能保证每点执行

O（1）

邻居搜索。但通常是这样。所以平均性能应该是

O（n log（n））

（我可能缺少一个对数因子。）

如果你的距离是任意的，你不能将你的点嵌入欧几里德空间（和/或空间的维数会非常高），然后基本上没有办法至少使用二次时间算法，因为在检查所有对之前，你不知道最近的对是什么。基本上，通过根据距离对所有对进行排序，然后维护一个布尔查找表，指示列表中的哪些点已经被取下，很容易接近这一点n、 然后按顺序浏览已排序对的列表，如果对中的两个点都不在已取点的查找表中，则将一对点添加到“最近邻居”中，如果是，则将对中的两个点添加到查找表中。复杂性O（n^2 log n），带O（n^2）额外的空间。

我想这个问题需要一个动态Voronoi图

当点集的Voronoi图已知时，可以在线性时间内找到最近邻对

然后删除这两点可以在线性或次线性时间内完成（我没有找到关于这方面的精确信息）

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因此，在全球范围内，您可以期待一个O（N²）解决方案。

您可以找到在O（nlogn）时间内运行的最接近的O（N^2 logn）对，您可以重复此操作N次，并且您将得到O（N^2 logn），这并不比您得到的更好

不过，您可以利用分治算法的递归结构。考虑一下，如果您删除的一对点位于分区的右侧，那么左侧的所有内容都将表现相同，没有任何更改，因此您只需重新执行O（logn）合并步骤自下而上。但是考虑到第一个新合并步骤将是合并2个元素，第二个合并4个元素，然后8个，然后16个，…，n/4，n/2，n，因此这些合并步骤的操作总数是O（n），因此在O（n）中得到第二个最接近的对。因此，通过删除之前找到的对，您可以重复这个n/2次，并获得一个总的O（n^2）运行时，其中包含O（nlogn）额外的空间，以跟踪递归步骤，这样会更好一些

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但你可以做得更好，有一个随机数据结构，可以让你在你的点集中进行更新，并得到一个预期的O（logn）查询和更新时间。我不太熟悉这个特定的数据结构，但你可以在中找到它。这将使你的算法O（nlogn）预计时间，我不确定是否有具有类似运行时的确定性版本，但这些版本往往更麻烦。

您能否详细说明输出的具体内容，例如，您能否给出一个输入输出示例？

PriorityQueue

？@sircodesalot您能详细说明一下吗？实际上，它仍然是N^2 log N，但您基本上可以将所有距离转储到优先级队列中，然后读取最近的对。使用

Set

跟踪看到的项目。

Set

有O（1）个查找时间。或者您可以只使用位集或数组或其他东西（因为您知道要处理多少个点），不需要摊销。太棒了。我需要查一下。