Algorithm 箱子堆放问题

我在很多地方发现了这个著名的dp问题，但我不知道如何解决

您将获得一组n种类型的 矩形三维框，其中 盒子具有高度h（i）、宽度w（i）和 深度d（i）（所有实数）。你 要创建一个包含 尽可能高，但你可以 只将一个盒子叠在另一个盒子上 如果 下面的盒子都要大得多 比那些2-D基地的 高一点的盒子。当然，你可以旋转 使任何一边都能起作用的盒子 它的基础。也允许使用 同一类型的多个实例 盒子

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这个问题似乎太复杂了，我想不出步骤。由于它是三维的，我得到了三个序列的高度，宽度和深度。但由于可以交换三维空间，这个问题对我来说就变得更复杂了。因此，请有人解释解决问题的步骤时，没有交换，然后如何做时，交换。我对这个问题感到厌倦了。所以请，请有人简单地解释一下解决方案。

我建议您创建一棵树（或某种树结构）并使用深度搜索对其进行解析，从单个垂直“高度”（取决于旋转）值计算最大高度

这（我认为这是基本方法）

细节对细节：

树根应该是地板，任何立方体都可以放在上面。从那里，您只需创建可能的下一个（可以放置在当前框顶部的特定旋转中的框）框的子节点。 递归地对每个框和旋转执行此操作

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构建树时，通过它计算从地板到树叶的总塔高。

我认为您可以使用动态规划最长递增子序列算法解决此问题：

计算旋转是很容易的：对于每座塔，你需要检查的是，如果你用它的高度作为基础的长度，用它的宽度作为高度，会发生什么，如果你用自然的方式使用它会发生什么。例如：

=============
=           =
=           =
=           = L
=     H     =
=           =
=           =
=============   
      W

变得像（是的，我知道它看起来一点也不像它应该的样子，只是按照符号）：

因此，对于每个块，实际上有3个块表示其可能的旋转。根据这一点调整块数组，然后通过减小基面积进行排序，只需应用DP LIS算法即可获得最大高度

如果最后一个塔必须为i，则调整后的重现期为：D[i]=我们可以获得的最大高度

D[1] = h(1);
D[i] = h(i) + max(D[j] | j < i, we can put block i on top of block j)

Answer is the max element of D.

D[1]=h（1）；
D[i]=h（i）+max（D[j]| j

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请参阅此处的视频解释：

堆栈可以被视为x、y、z三元组的序列（x、y为2D平面，z为高度），其中x（i）>x（i+1）和y（i）>y（i+1）。目标是最大化从可用三元组集合中选取三元组的z总和-每个三元组是特定方向上的一种盒子类型。很容易看出，强制执行约束x>y并不会减少解决方案空间。所以每个盒子生成3个三元组，w，h，d作为z坐标

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如果将三元组视为一个有向无环图，其中当满足x、y约束时，长度为z的边存在于两个三元组之间，那么问题在于找到通过该图的最长路径。

让我们首先尝试在二维中解决此问题：

假设你有X和Y的矩形，问题是类似的（最高的塔，但这次你只需要担心一个基础尺寸）。
因此，首先，您遍历整个集合，通过将每个矩形旋转90度（交换X和Y）来复制每个矩形，除了正方形（其中X（1）=X（2）&&Y（1）=Y（2））。这表示所有可能的变化。
然后按X边从大到小对它们进行排序。如果X值重复，则删除Y值较低的X值

同样的原理也适用于三维场景，只是现在你不只是将集合的大小乘以6（W，H，D的所有可能变体），而是乘以2。通过忽略宽度小于深度的所有变化（因此对于每个i，W（i）>=D（i）），然后忽略高度不是三个维度中最高或最低的变化（因为其他两个变化可以一个在另一个之上，而这个不能合并）。同样，您也会忽略重复（其中W（1）=W（2）和&H（1）=H（2）和&D（1）=D（2））。
然后你应该按宽度排序，只是这次你没有；t丢弃相同宽度的变化（因为一个可能适合另一个可能不适合），然后您可以使用上面@IVlad所述的LIS算法：

D[1] = h(1);
D[i] = h(i) + max(D[j] | j <= i and we can put tower i on tower j) or simply h(i) if no such D[j] exists.

D[1]=h（1）；
D[i]=h（i）+max（D[j]|j这个问题的解包括三个步骤

对每个框的尺寸进行排序，以便比较任意两个框减少到比较其相应的尺寸
按字典顺序对框的顺序进行排序，以便对于每个框，左侧的框是可能适合的框
申请
第三步是最昂贵的，它将解决方案的复杂性提升到了O（n^2）

。

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如果您想阅读该方法的完整解释，请查看每个步骤如何有助于找到答案和完整代码。

我假设当您旋转它们时，它们必须保持轴对齐？即，您不能旋转30度或类似的角度？旋转意味着可以旋转90度。表示一角硬币不，这不是家庭作业。我正在尝试学习动态编程。这是dp中的一个常见问题。所以我不需要知道。请有人用一些递归关系解释一下。以及为什么你的方法是正确的。这是数量上的指数（阶乘偶数）。他说他特别寻找dp（动态编程）在这里，我得到了高度、宽度和长度的3个序列

D[1] = h(1);
D[i] = h(i) + max(D[j] | j <= i and we can put tower i on tower j) or simply h(i) if no such D[j] exists.