Algorithm 确定整数分解算法的复杂度

我开始研究计算复杂性，BigOh符号等等，我的任务是做一个整数分解算法并确定它的复杂性。我已经编写了算法，它正在运行，但是我在计算复杂度时遇到了问题。伪代码如下所示：

DEF fact (INT n)
BEGIN
    INT i

    FOR (i -> 2 TO i <= n / i STEP 1)
    DO
        WHILE ((n MOD i) = 0)
        DO
            PRINT("%int X", i)
            n -> n / i
        DONE
    DONE

    IF (n > 1)
    THEN
        PRINT("%int", n)

END

DEF事实（INT n）
开始
INT i
对于（i->2至i n/i）
完成
完成
如果（n>1）
然后
打印（“%int”，n）
结束

我认为，我试图做的是极其错误的：

f（x）=n-1+n-1+1+1=2n

所以

f（n）=O（n）

我认为这是错误的，因为分解算法应该很难计算，它们甚至不能是多项式。那么你有什么建议来帮助我吗？也许我只是在晚上这个时候太累了，我把这一切都搞砸了：(

提前谢谢。

这种现象被称为：一种似乎是多项式的复杂度，但实际上不是。如果你问某个复杂度（这里，n）是否是多项式，你必须看看复杂度与输入大小的关系。在大多数情况下，例如排序（例如，合并排序可以在O（n lg n）中解决），n表示输入的大小（元素的数量）。但是，在这种情况下，n并不表示输入的大小，而是输入值。那么，n的大小是什么？自然选择是n中的位数，大约为lg n。因此，让w=lg n表示n的大小。现在我们看到O（n）=O（2^（lg n））=O（2^w）-换句话说，输入大小w呈指数变化

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（注意O（n）=O（2^（lgn））=O（2^w）总是正确的；问题是输入大小是由n还是由w=lg n来描述。此外，如果n描述列表中元素的数量，严格来说，应该计算列表中每个元素的位，以获得总输入大小；但是，通常假设列表中所有数字的大小都是有界的（例如，32位）。

使用算法是递归的这一事实。如果f（x）是计算因子的操作数，如果n是找到的第一个因子，那么f（x）=（n-1）+f（x/n）。任何因子分解算法的最坏情况都是素数，对于素数，算法的复杂度为O（n）

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分解算法之所以“困难”，主要是因为它们用于非常大的数字。

在大O表示法中，

n

是输入的大小，而不是输入本身（如您的情况）。输入的大小是

lg（n）

位。所以基本上你的算法是指数的。

很好的解释！但是，如果我们假设n上的运算不是原子步，而是依赖于n的大小w，那么我们还需要考虑模和除法都不是常数，而是O（w ln w…），因此整个算法的最坏情况复杂度不能是O（2^w）或者更确切地说，因式分解算法是“困难的”，因为它们不能有效地扩展到大的数字。