Algorithm 简单算法问题

在iTunesU上观看免费的麻省理工学院算法课程，我被第一堂课困住了

以插入排序为例，在最坏的情况下（逆序数组/列表），它的时间实际上是T（n/2），但他们说这是θn的平方。我还以为这是西塔n。我不明白他们怎么说这是n平方。我被困住了，他们是如何得出这个结论的，维基百科也帮不上忙。有人能把它说得再哑一点吗

来自：

最坏情况下的输入是数组 按相反顺序排序。在这种情况下 内部循环的每次迭代都将 扫描并移动整个已排序的 之前数组的子部分 插入下一个元素。为此 大小写插入排序具有二次型 运行时间（即O（n2））

第一个循环迭代数组/列表进行排序，内部循环迭代部分排序的数组/列表。如果已经排序，您可以看到每次都迭代到已排序容器的末尾

以下是伪文本的更多解释：

for element in unsorted_container
    for current_element in sorted_container
        if element < current_element -> Will never happen since sorted in reverse order.
            InsertBefore(element, current_element)
    if element not inserted
        InsertAtEnd(element) <- Will always execute this part since it will always insert at end.

未排序容器中元素的

对于已排序\u容器中的当前\u元素
如果元素将永远不会发生，因为按相反顺序排序。
InsertBefore（元素，当前元素）
如果元素未插入
插入（元素）来自：

最坏情况下的输入是数组
按相反顺序排序。在这种情况下
内部循环的每次迭代都将
扫描并移动整个已排序的
之前数组的子部分
插入下一个元素。为此
大小写插入排序具有二次型
运行时间（即O（n2））

第一个循环迭代数组/列表进行排序，内部循环迭代部分排序的数组/列表。如果已经排序，您可以看到每次都迭代到已排序容器的末尾

以下是伪文本的更多解释：

for element in unsorted_container
    for current_element in sorted_container
        if element < current_element -> Will never happen since sorted in reverse order.
            InsertBefore(element, current_element)
    if element not inserted
        InsertAtEnd(element) <- Will always execute this part since it will always insert at end.

未排序容器中元素的

对于已排序\u容器中的当前\u元素
如果元素将永远不会发生，因为按相反顺序排序。
InsertBefore（元素，当前元素）
如果元素未插入
插入趋势（元素）插入排序按相反顺序开始的4个元素的数组：

4 3 2 1

首先，将“4”插入长度为1的数组中的适当位置（即不执行任何操作）

接下来，将“3”插入长度为2的数组中的适当位置：

3 4 2 1

（我们必须移动3号和4号）

接下来，将“2”插入长度为3的数组中的适当位置：

2 3 4 1

（我们必须移动2、3和4）

接下来，插入“1”

（我们必须移动1、2、3和4）

我们执行了n个步骤，每个步骤k都需要移动k个元素（或k-1交换，取决于您想如何看待它）。从1到n的k之和是θ（n^2）

在一个简单的链表结构[*]的情况下，我们可以将一个对象移动到它在O（1）中的适当位置，但一般来说，找到适当的位置仍然需要对已经排序的数据部分进行线性搜索，因此对于一般输入，它仍然只得到O（n^2）。不过，链表的基本插入排序恰好能够很好地处理逆序数据，因为它总是能够立即找到正确的插入位置。因此，对于这个特定数据，我们得到了O（1）的n个步骤，每个步骤的总运行时间为O（n）

假设我们仍然选择要插入的第一个未排序元素，并且在每一步都向前搜索列表的已排序部分，那么列表插入排序的最坏情况是已经排序的数据，再次是θ（n^2）

[*]意思是，没有什么比跳过列表更奇特的了。
插入排序按相反顺序开始的4个元素的数组：

4 3 2 1

首先，将“4”插入长度为1的数组中的适当位置（即不执行任何操作）

接下来，将“3”插入长度为2的数组中的适当位置：

3 4 2 1

（我们必须移动3号和4号）

接下来，将“2”插入长度为3的数组中的适当位置：

2 3 4 1

（我们必须移动2、3和4）

接下来，插入“1”

（我们必须移动1、2、3和4）

我们执行了n个步骤，每个步骤k都需要移动k个元素（或k-1交换，取决于您想如何看待它）。从1到n的k之和是θ（n^2）

在一个简单的链表结构[*]的情况下，我们可以将一个对象移动到它在O（1）中的适当位置，但一般来说，找到适当的位置仍然需要对已经排序的数据部分进行线性搜索，因此对于一般输入，它仍然只得到O（n^2）。不过，链表的基本插入排序恰好能够很好地处理逆序数据，因为它总是能够立即找到正确的插入位置。因此，对于这个特定数据，我们得到了O（1）的n个步骤，每个步骤的总运行时间为O（n）

假设我们仍然选择要插入的第一个未排序元素，并且在每一步都向前搜索列表的已排序部分，那么列表插入排序的最坏情况是已经排序的数据，再次是θ（n^2）

[*]意思是，没有什么比跳过列表更奇特的了。
它不是真正的n平方，也不是很接近。在上一次迭代中，它只消耗了n个成本，其中j=n（j是循环位置）。我错过了一些东西。所以考虑到负载，它实际上是在5项数组上。（1） +（2）+（3）+（4）+（5）但是否等于O（n2）？@mattcodes:1+2+…+n=n*（n+1）/2，实际上是θ（n^2）。@mattcodes详细说明Eric和Steve的正确评论，即使您的操作仅为（n^2）/2，当您将N乘以两倍或四倍时，该表达式的N^2部分将清楚地显示出来。如果您正在处理一个具有此时间复杂性的问题，并且完成每个操作的时间为N=10000000000和1毫秒，则即使复杂性为（N^2）/2，而不是（N^2），在算法正确终止时，您也不会处于活动状态.还有