Algorithm Google codejam亚太测试实践回合：括号顺序

我花了一天时间来解决这个问题，却找不到一个解决方案来传递这个大数据集

问题

n个圆括号序列由n“（“s和n”）”s组成

现在，我们有了所有有效的n个括号序列。按字典顺序查找第k个最小序列

例如，以下是按字典顺序排列的所有有效的3个括号序列：

((()))

(()())

(())()

()(())

()()()

给定n和k，编写一个算法，以字典顺序给出第k个最小序列

---

对于大型数据集：

1≤ N≤ 100和
1≤ K≤ 10^18
这个问题可以通过使用动态规划来解决


设
dp[n][m]
=如果有
n
开括号和
m
闭括号，则可以创建的有效括号数
基本情况：

dp[0][a]=1（a>=0）
使用基本大小写填写矩阵：

dp[n][m]=dp[n-1][m]+（n


然后，我们可以慢慢地构建第k个括号


以a=n开括号开始和b=n闭括号开始，当前结果为空

while(k is not 0):
     If number dp[a][b] >= k: 
            If (dp[a - 1][b] >= k) is true:
               * Append an open bracket '(' to the current result
               * Decrease a 
            Else:
               //k is the number of previous smaller lexicographical parentheses
               * Adjust value of k: `k -= dp[a -1][b]`,
               * Append a close bracket ')' 
               * Decrease b
     Else k is invalid

请注意，按字典顺序，开括号比闭括号小，所以我们总是先添加开括号

这个问题可以通过使用动态规划来解决


设
dp[n][m]
=如果有
n
开括号和
m
闭括号，则可以创建的有效括号数
基本情况：

dp[0][a]=1（a>=0）
使用基本大小写填写矩阵：

dp[n][m]=dp[n-1][m]+（n


然后，我们可以慢慢地构建第k个括号


以a=n开括号开始和b=n闭括号开始，当前结果为空

while(k is not 0):
     If number dp[a][b] >= k: 
            If (dp[a - 1][b] >= k) is true:
               * Append an open bracket '(' to the current result
               * Decrease a 
            Else:
               //k is the number of previous smaller lexicographical parentheses
               * Adjust value of k: `k -= dp[a -1][b]`,
               * Append a close bracket ')' 
               * Decrease b
     Else k is invalid

请注意，按字典顺序，开括号比闭括号小，所以我们总是先添加开括号

让
S=从n（和n）开始的任何有效括号序列
。
现在，任何有效的序列S都可以写成
S=X+Y
where


X=有效前缀
即，如果在任何时间点从左到右遍历X，
numberof'（'>=numberof'）”
Y=有效后缀
即，如果在任何时间点从右向左遍历Y，
numberoff'（'ncp），因此可能没有有效后缀*/
dp[nop][ncp]=i1+i2；
}
返回dp[nop][ncp]；
}`

例如，n=3，即3
（
和3
）
现在，从一开始，X=empty_string

，因此

dp[3][3]

=使用3

（

和3

）

---

=3

（

和3

）中有效后缀的数量
Y
）

让

S=n（和n）中的任何有效括号序列

。 现在，任何有效的序列S都可以写成

S=X+Y

where

• X=有效前缀

  即，如果在任何时间点从左到右遍历X，

  numberof'（'>=numberof'）”

• Y=有效后缀

  即，如果在任何时间点从右向左遍历Y，

  numberoff'（'ncp），因此可能没有有效后缀*/
  dp[nop][ncp]=i1+i2；
  }
  返回dp[nop][ncp]；
  }`
  

  例如，n=3，即3

  （

  和3

  ）

  现在，从一开始，X=empty_string，因此

  dp[3][3]

  =使用3

  （

  和3

  ）

  ---

  =来自3

  （

  和3

  ）的有效后缀
  Y
  的数量

  那么你的问题是什么？@WimOmbelets我猜，解决上述问题的算法是什么？WimOmbelets我猜，解决上述问题的算法填充有效括号的基本情况是什么？谢谢你的算法。我运行了它，它是正确的。但是dp[n][m]的含义是什么（如果我们有n-开括号的数量和m-闭括号的数量，那么可以创建有效括号的数量）这让我很困惑。如果n！=m，我们如何才能得到有效括号？我不太理解dp[n][m]的含义@Danny您可以理解，在放下一些开括号和一些闭括号之后，从左括号中，您可以从这些括号中创建多少不同的有效配置。这就是为什么基本情况是dp[0][a]，这意味着当你只有右括号时，你唯一能做的就是把它们都放下来。@Phamtrong这对我来说是有意义的。谢谢！@user2761431假设n=4，我们已经创建了这样的smt（（）（”，因此，我们唯一能做的就是把它们都放在3个右括号中，这使得基本情况dp[0][3]=1:）填充有效括号数的基本情况是什么？谢谢你的算法。我运行了它，它是正确的。但是dp[n][m]的含义（如果我们有n-开括号数和m-闭括号数，则可以创建有效括号数）我不太明白dp[n][m]的意思。@Danny你可以理解，在放下一些开括号和闭括号后，从左括号中，你可以从这些括号中创建多少不同的有效配置。这就是为什么基本情况是dp[0][a]，这意味着当你只有右括号时，你唯一能做的就是把它们都放下来。@Phamtrong这对我来说是有意义的。谢谢！@user2761431假设n=4，我们已经创建了这样的smt（（）（”，因此，我们唯一能做的就是把它们都放在3个右括号中，这使得基本情况dp[0][3]=1:）

  `calculate(nop,ncp)
  {
    if dp[nop][ncp] is not known
    {
      i1=calculate(nop-1,ncp); // Case 1: X= X + "("
      i2=((nop<ncp)?calculate(nop,ncp-1):0);
  /*Case 2: X=X+ ")" if nop>=ncp, then after exhausting 1 ')' nop>ncp, therefore there can be no valid suffix*/
      dp[nop][ncp]=i1+i2;
    }
     return dp[nop][ncp];
  }`