Algorithm 在O（n）或O（n log n）中查找回文子串的数目？

我知道你可以用manacher算法找到O（n）中最长的回文子串，但是有可能找到O（n）或O（n log n）中回文子串的总数吗？如果是这样的话，你会怎么做呢

把单个字母也算作回文

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例如，“xyx”的回文子串的数量是9

这是因为你有：

5 single letter palindromes (x,y,x,y,x)
3 palindromes with three letters (xyx, yxy, xyx)
1 palindrome with five letters (xyxyx)

for a total of 5+3+1 = 9 palindromic substrings.

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字符串

S

的子字符串

S'

是半径

i

iff的最大回文，从中间开始，它在

i

字符的两个方向上读取相同的内容，但对于

i+1

字符则不相同

字符串中的任何回文必须是具有相同中心的最大回文的子字符串。相反，具有相同中心的最大回文组的每个子串也必须是回文组。我们还可以很容易地计算具有相同中心的子回文的数量：长度

k

的回文包含

上限（k/2）

鉴于我们可以使用线性时间中的Manacher算法找到所有最大回文，我们为您的问题提供了一个线性时间算法：找到最大回文长度的数组，除以2，取上限，对数组求和

例1：在“xyx”上，最大回文数为

x, xyx, xyxyx, xyx, x

a, b, abba, b, a

Manacher's可以用来计算数组

1, 0, 3, 0, 5, 0, 3, 0, 1

表示以每个字母和字母之间的每个间隙为中心的最大回文长度。无论如何，将map

天花（k/2）

应用于条目，我们得到

1, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 1

总共是9

例2：“阿巴”。最大回文数为

x, xyx, xyxyx, xyx, x

a, b, abba, b, a

马纳彻可以用来获得阵列

1, 0, 1, 4, 1, 0, 1

而

天花板（k/2）

'd阵列是

1, 0, 1, 2, 1, 0, 1

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对于6（a，b，b，a，bb，abba）的总和，我想看看这是否可行，因为回文子串的最大数量是O（n^2）。在我看来，最坏的情况不可能比

O（n²）

，因为仅仅增加每个子串的计数器的动作就是

O（n²）

给定一个高度回文的输入。当我尽力得到O（n^2）时，对于像“aaaaa…”这样的输入，这将花费太长的时间。@StriplingWarrior-也就是说，你可以在O（n log n）时间内计算数组中的倒数，即使通过向计数器中添加除1以外的值可以得到θ（n^2）倒数。我已经给出了（我认为是）下面是一个线性时间算法，但鉴于我在现场提出了它，如果你们能检查一下，我将不胜感激。它通过了我尝试过的例子，感觉正确，但是眼睛越多越好。哇。。看起来可能有用。你是如何得到一个长度为k的回文有ceil（k/2）子回文的？它只有

ceil（k/2）

子回文有相同的中心；我们不关心其他亚类的回文。@user2612743这样想：字符串中的每个回文都有相同的中心，正好有一个最大回文。所以我们可以划分所有回文的集合，根据它们共享一个中心的最大回文。一个分区中的元素数是

Ceil（k/2）

，其中

k

是该分区中最长回文的长度。明白了。逻辑似乎合理，算法似乎运行良好——我想我会接受的！你是如何计算最大回文数的？