Algorithm 如何找到与多边形相交次数最少的光线？

设p为简单但不一定是凸多边形，q为任意多边形 点不一定在P

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设计一个有效的算法来寻找一条从q开始的线段，该线段与p的最小边数相交。

如果

q

是你在二维空间中的点，我们可以写

q（x，y）

。我们知道多面体有边（E）、顶点（V）和面（F），所有这些项都与欧拉定理中的公式

V-E+F=2

有关，但问题变得更容易，因为它是针对多边形的

所以平面就是找到一条边，然后计算点的方向向量

q（x，y）

到边的中心，这样做（如果多边形是凸的），我们可以确定这条线段将只通过p的一条边

计算将需要一点线性代数，但并不难，例如：

1-求一条直线到一个点的距离（这样我们就可以找到在这个问题中使用的最近边）：

2-此外，最好在这条线上找到最靠近

（x0，y0）

坐标的点：

式中，直线方程为ax+by+c=0，且

（x0，y0）

不一定是p中的任意点

因此，现在我们可以在最靠近初始点的线上找到点

k（x，y）

，做

| q-k |=d

。其中d是我们刚刚计算的距离。在这之后，你已经有了所有你需要的东西来找到一条从q开始的线段，它与P的最小边数相交

您可以在一些地方学习并找到有关此主题的更多信息：

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想象一下在地图上这样做，这样你就可以想到北、南、东、西和方位等方向

如果有一条光线从q向外到无穷远，它是否与点a和点B之间的直线相交，只取决于光线的方向角，以及从q到a和B的方向角：如果光线的方向角在从q到a的方向角和从q到B的方向角所跨越的范围内，沿直线方向取此值，则光线将与直线相交

所以你可以把它简化成一个更简单的问题。假设所有的点都在一个围绕q的圆中，直线就是这个圆的圆弧。现在你需要在这个圆上找到一个点，这个点被最小数量的弧重叠。如果您将跨越0度的每个圆弧在0处分成两段，例如将320度到40度的圆弧切割为320度到360度=0度的圆弧，以及0度到40度的圆弧，您的生活也会变得更加轻松

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很好的候选点是圆中每个点的顺时针方向的点。现在对每个圆弧进行排序，使其从低角度到高角度，按低角度对圆弧进行排序，并按顺序进行处理，在看到圆弧起点时递增计数器，在看到圆弧终点时递减计数器（您不必担心环绕0=360度的圆弧，因为您刚刚确保没有任何圆弧）。要查找的点是与计数器最小值关联的点。

以

q

作为坐标原点，计算顶点的极坐标参数。这是在线性时间内完成的

然后每条边都跨越一段角度间隔。要处理环绕，可以分割跨越360°边界的间隔

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您在1D间隔重叠的实例中解决了这个问题。这在

O（N Log（N））

time中很容易解决。

Sure

min（直线段）=直线（q，q）

。我想你还没有告诉我们所有的要求。看起来像是一个家庭作业问题好吧，很有趣的问题，但这里没有人喜欢这样的问题。这就是问题所在，所以要想办法解决它。如果你不知道如何解决家庭作业，请尝试先对数据进行排序（这里按相对于给定点的极角对顶点进行排序）@NiklasB，“但不一定是凸的”，这就是他所说的，所以它可以是凸的，在这种特殊情况下，我的解决方案将是有用的。