Algorithm 具有给定约束的分区数

考虑一组13个丹麦人、11个日本人和8个波兰人。众所周知，将这组人划分为组的不同方式的数目是13+11+8=32:th Bell数（集合分区的数目）。然而，我们被要求在给定的约束下找到可能的集合分区的数量。问题如下:

如果一个集合分区没有至少由两个人组成的只包含一个国籍的组，则称其为好。此集合有多少个好的分区？（一个小组只能包括一个人。）

蛮力方法需要遍历大约10^26个分区并检查哪些分区是好的。这似乎是不可行的，尤其是如果群体规模较大或有人介绍了其他国籍。有没有聪明的办法

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编辑：作为旁注。可能没有希望找到一个真正好的解决方案。一位备受尊敬的组合数学专家提出了一个相关的问题，我认为，基本上说，相关的问题，因此这个问题，很难精确地解决。

精确的解析解很难，但多项式时间+空间动态规划解很简单

首先，我们需要对组的大小进行绝对排序。我们通过比较我们有多少丹麦人、日本人和波兰人来做到这一点

接下来，要编写的函数就是这个函数

m is the maximum group size we can emit

p is the number of people of each nationality that we have left to split

max_good_partitions_of_maximum_size(m, p) is the number of "good partitions"
we can form from p people, with no group being larger than m

显然，您可以将其编写为一个有点复杂的递归函数，它总是选择要使用的下一个分区，然后用它作为新的最大大小调用自己，并从p中减去分区。如果你有这个函数，那么你的答案就是

max\u good\u partitions\u of\u maximum\u size（p，p）

with

p=[13,11,8]

。但这将是一次暴力搜索，不会在合理的时间内进行

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最后，通过缓存对该函数的每个调用来应用，它将在多项式时间内运行。但是，您还必须缓存多项式数量的调用。

这里有一个使用动态编程的解决方案

它从一个空集开始，然后一次添加一个元素并计算所有有效分区

状态空间是巨大的，但请注意，为了能够计算下一步，我们只需要了解分区的以下情况：

• 对于每个国籍，它包含多少只由该国籍的一名成员组成的集合。（例如：{a}）
• 它包含多少个包含混合元素的集合。（例如：{a，b，c}）

对于每种配置，我只存储总计数。例如：

[0, 1, 2, 2] -> 3
{a}{b}{c}{mixed} 
   e.g.: 3 partitions that look like: {b}, {c}, {c}, {a,c}, {b,c}

以下是python中的代码：

import collections
from operator import mul
from fractions import Fraction

def nCk(n,k):
  return int( reduce(mul, (Fraction(n-i, i+1) for i in range(k)), 1) )

def good_partitions(l):
    n = len(l)
    i = 0
    prev = collections.defaultdict(int)
    while l:
        #any more from this kind?
        if l[0] == 0:
            l.pop(0)
            i += 1
            continue
        l[0] -= 1
        curr = collections.defaultdict(int)

        for solution,total in prev.iteritems():
            for idx,item in enumerate(solution):
                my_solution = list(solution)
                if idx == i:
                    # add element as a new set
                    my_solution[i] += 1
                    curr[tuple(my_solution)] += total
                elif my_solution[idx]:
                    if idx != n:
                        # add to a set consisting of one element
                        # or merge into multiple sets that consist of one element
                        cnt = my_solution[idx]
                        c = cnt
                        while c > 0:
                            my_solution = list(solution)
                            my_solution[n] += 1
                            my_solution[idx] -= c
                            curr[tuple(my_solution)] += total * nCk(cnt, c)
                            c -= 1
                    else:
                        # add to a mixed set
                        cnt = my_solution[idx]
                        curr[tuple(my_solution)] += total * cnt

        if not prev:
            # one set with one element
            lone = [0] * (n+1)
            lone[i] = 1
            curr[tuple(lone)] = 1

        prev = curr
    return sum(prev.values())

print good_partitions([1, 1, 1, 1])      # 15
print good_partitions([1, 1, 1, 1, 1])   # 52
print good_partitions([2, 1])            # 4
print good_partitions([13, 11, 8])       # 29811734589499214658370837

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它为测试用例生成正确的值。我还用蛮力解（对于小值）对它进行了测试，它产生了相同的结果。

正如你在那里问的那样，得到了你的答案，你可以在这里关闭它。由于表达式中存在一些非线性因素，生成函数很难应用。获得它的洞察力是非常好的，它告诉了一些关于这个问题的事情。然而，不是我想要的确切数字。讨论生成函数的好处。实际上，获得这些数字需要一个聪明的算法（或荒谬的计算能力）。很可能没有什么比暴力更好的了。我把这篇文章贴在这里，是想看看它是否能为比我更擅长算法的人敲响警钟？