Algorithm 给定一组n个整数，用sum>；列出所有可能的子集=K

给定数组形式的未排序整数集，查找其和大于或等于常量整数k的所有可能子集， 我们的集合是{1,2,3}，k=2

可能的子集：-

 {2},
 {3},
 {1,2},
 {1,3},
 {2,3}, 
 {1,2,3}

我只能想到一个简单的算法，它列出集合的所有子集并检查子集的和是否大于等于k，但它是一个指数算法，列出所有子集需要O（2^N）。我可以用动态规划在多项式时间内求解它吗

我可以用动态规划在多项式时间内求解它吗

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不。这个问题比@amit（在评论中）提到的还要难。寻找是否存在一个和特定k求和的子集是一个NP难问题。相反，你要问的是有多少解等于一个特定的k，这是一个更难的问题。此外，您的精确问题稍微困难一些，因为您不仅要计算，还要枚举k和目标如果k为0，并且集合的每个元素都为正，则您别无选择，只能输出每个可能的子集，因此此问题的下界为O（2N）--产生输出所需的时间

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除非你对k值有更多的了解，但你没有告诉我们，否则没有比检查每个子集更快的通用解决方案。

列出所有子集仍然是

O（2^N）

，因为在最坏的情况下，你可能仍然必须列出除空子集之外的所有子集

动态规划可以帮助您计算具有

sum>=K

您可以自下而上跟踪从范围

[1..K]

到某个值的子集总数。这样的方法将是

O（N*K）

，这将只适用于较小的

K

用一个例子最好地说明了动态规划解决方案的思想。考虑一下这种情况。假设您知道在由第一个

i

元素组成的所有集合中，您知道

t1

和

2

和

t2

和

3

。假设下一个

i+1

元素是

4

。给定所有现有集合，我们可以通过追加元素

i+1

或将其省略来构建所有新集合。如果我们不考虑它，我们会得到求和为

2

的

t1

子集和求和为

3

的

t2

子集。如果我们附加它，那么我们获得了求和为

6

（2+4）的

t1

子集和求和为

7

（3+4）的

t2

，以及一个只包含求和为4的

i+1

子集。这就给出了由第一个

i+1

元素组成的

（2,3,4,6,7）

子集的数目。我们继续，直到

N

在伪代码中，这可能类似于：

int DP[N][K];
int set[N];

//go through all elements in the set by index
for i in range[0..N-1]
   //count the one element subset consisting only of set[i]
   DP[i][set[i]] = 1

   if (i == 0) continue;

   //case 1. build and count all subsets that don't contain element set[i]
   for k in range[1..K-1]
       DP[i][k] += DP[i-1][k]

    //case 2. build and count subsets that contain element set[i]
    for k in range[0..K-1] 
       if k + set[i] >= K then break inner loop                     
       DP[i][k+set[i]] += DP[i-1][k]

//result is the number of all subsets - number of subsets with sum < K
//the -1 is for the empty subset
return 2^N - sum(DP[N-1][1..K-1]) - 1

intdp[N][K]；
整数集[N]；
//按索引遍历集合中的所有元素
对于[0..N-1]范围内的i
//计算仅由集合[i]组成的一个元素子集
DP[i][set[i]]=1
如果（i==0）继续；
//案例1。生成并计算不包含元素集[i]的所有子集
对于[1..k-1]范围内的k
DP[i][k]+=DP[i-1][k]
//案例2。生成并计算包含元素集[i]的子集
对于[0..k-1]范围内的k
如果k+集[i]>=k，则中断内部循环
DP[i][k+集[i]+=DP[i-1][k]
//结果是所有子集的数目-总和小于K的子集数目
//-1表示空子集
返回2^N-和（DP[N-1][1..K-1]）-1

如果您对打印或列出所有这些子集感兴趣，那么在最坏的情况下，您可能仍然需要列出

2^N-1

（除空之外的所有子集）。然而，你可以用多项式中的动态规划来计算有多少个子集。@cyon，我们如何用动态规划来计算这样的子集的数量？找到是否有一个子集和

k

，这是NP难问题（子集和问题）——因此，这个问题也是如此。既然你想要的是实际的集合，在我看来，用蛮力生成所有的子集是可行的。（可能会使用分支和绑定技术添加一些优化，但仅此而已，IMO）@amit子集求和问题指的是找到一个子集，该子集的求和正好等于

k

，而不是至少等于

k

。找到一个总和至少为

k

的子集是O（n）（只要把所有的东西加起来，看看总和是否足够大）。@dfan但问题是找到所有大于/等于

k

的子集。要做到这一点，您需要找到求和到

k

的所有子集。找到它们是NP难的。你能告诉我怎么做-->求和（DP[1…K]@rasooll我的意思是

sum=DP[1]+DP[2]+..+DP[K]

DP是一个二维数组，所以DP[0]+…+DP[K]不是真的吗think@Rasoolll哦，是的，抱歉我没注意到。

sum=DP[N-1][1]+DP[N-1][2]+..+DP[N-1][K-1]

。因为您试图查找最多由

N

组成的集合（

N-1

，因为从0索引）多少和等于

1,2,3，…K-1

。当你计算出多少时，你从所有子集中减去这个，得到有多少和等于

K，K+1

，等等。我的错误是没有在代码中很好地解释它。让我们来看看。