Algorithm 通过增加a的大小来测量求解线性系统Ax=b的计算复杂度

我有一个线性方程

Ax=b

其中

A

是非奇异矩阵

N×N

，而

x，b

是向量

N×1

<代码>A，b已给出，我想找到x

很明显，x可以通过x=A找到^(−1） *b。我想测量

N

增加时的计算复杂性

在MATLAB中，我使用了代码x=A\b。我知道MATLAB会选择一个最好的算法来找到解决方案。在分析中，我知道当N增加时，计算复杂度随着N^3的增加而增加。当N增加时，如何拟合/测量上述方程的模拟和分析之间的计算复杂性

根据，对于随机矩阵

A=rand（n）

解算器将使用LU分解（基本上是高斯消去法），因为所有其他算法都需要某种特殊形式的矩阵

所需操作的计数顺序为N^3。但这并不能转化为N^3的运行时间，因为MATLAB中的数值线性代数例程。例如，当对某些列执行高斯消去时，行操作可以独立执行，因此可以分布在多个线程之间

下面是我如何测试线性解算器的运行时间。矩阵大小为

100:10:500

。我用相同的矩阵重复了

A\b

500次（以避免将生成这些矩阵的成本加到总数中）

我没有查看

绘图（大小、时间）

并试图找出它是三次曲线还是什么，而是取对数的比率，直接表示N的指数。在我的机器上看起来是这样的，表明大约有N^2的增长

---

（正如Luis Mendo所指出的，使用

timeit

而不是

tic

，

toc

会更好，但在我的旧版MATLAB中不可用。）

测量在不同的

N

值下运行所需的时间，存储

N

以及数组中的时间量，为了精确测量计算时间，你认为模拟会准确地显示分析结果为N^3吗？因为如果我使用Hank Sally，MATLAB会选择最好的算法。是否可以将多线程转换为适合分析和模拟？

sizes = 100:10:500;
tries = 500;
n = numel(sizes);
time = zeros(1, n);
for j = 1:n
    A = rand(sizes(j));
    b = rand(sizes(j), 1);
    tic 
    for k = 1:tries
        x = A\b;
    end
    time(j) = toc;
end
logsize = log(sizes/sizes(1));
logtime = log(time/time(1));
plot(sizes, logtime./logsize);
axis([sizes(1) sizes(end) 0 4])