Big o 用简明英语解释算法证明

我是一个从未正式学习过算法的程序员，一直想填补我学习中的空白。我目前正在阅读一些书籍和在线材料，我理解大O的概念，即它的用途，以及不同类别的性能，例如常数、线性、二次型等。我可以编写问题代码，直观地理解不同方法的性能含义

然而，我一直被困在算法证明的符号上，我不确定从哪里找到这一部分。我看过的所有书都假定这一知识水平

例如，斯基纳算法设计手册中的这句话让我感到困惑：

f（n）=O（g（n））表示c*g（n）是f（n）的上界。

因此存在一些常数c，使得f（n）总是≤ c*g（n），对于足够大的n（即n≥ n0表示某些常数n0）。

这是读者应该完成的必然练习：

3n^2− 100n+6=O（n^2），因为我选择c=3和3n^2>3n^2− 100n+6

我能理解这两种说法，并且从逻辑上看，第二种说法是正确的。我也理解上限的概念，即这是最坏的情况

但我一直停留在简单的事情上，比如，上面提到的是什么

• g（n）

• n≥ 某些常数n0的n0

总的来说，我不能把这些片段放在一起来理解整个证据

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有谁能帮我用简单的英语解析上述陈述，并以一种对非技术人员有意义的方式展示它们与练习之间的关系吗

g（n）是您将实际运行时与之进行比较的函数。例如，您可以说冒泡排序是O（n^2），使g（n）=n^2。但是，直觉上，您的算法不会精确地采用n^2时间单位（无论您希望在此处插入什么时间单位）；可能需要3n^2− 但是，100n+6（即f（n））时间单位

现在，Big Oh符号所做的是比较两个函数的增长速度；请注意，这是一个非常粗略的比较。例如，它不区分需要f（n）=n^2时间单位的算法和需要f（n）=5n^2的算法，也不区分具有f（n）=n^2的算法和具有f（n）=n^2+n的算法。这就是c发挥作用的地方——如果你能找到任何常数c，你可以用它乘以g（n），这样得到的函数每n返回一个大于f（n）的值，那么f（n）=O（g（n））

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大Oh表示法也关注的是f（n）中增长最快的部分。假设您想将f（n）=n+100与g（n）=n进行比较。直观地说，f（n）=O（g（n）），但是没有c可以与g（n）相乘，因此它总是大于f（n）；然而，n的增长速度明显快于根本没有增长的100。最后，这就是n0发挥作用的地方：如果a对于有限数量的n，c*g（n）不大于f（n），只要对于无限数量的n，大Oh符号“容忍”它。该有限数以n0给出，例如，对于所有n<1（这是一个有限量：正好是数字0），f（n）=n+100可以大于c*g（n）=c*n，只要对于所有其他n（无限量：所有数字=1，使n0=1）f（n）更小。

这里的主要问题是你不习惯数学中使用的习惯用法

让我们一句一句地说：

f（n）=O（g（n））表示c*g（n）是f（n）的上界。

简单英语：嘿，写c*g（n）是f（n）的上界。对我来说太多了，从现在起我会用很多。从现在开始，每次我想说这个，我都会写f（n）=O（g（n））。还有，f（n）和g（n）只是函数，我不在乎哪一个，只要它们取整数n作为参数并返回一些实值。c只是一个常数，所以我上面所做的肯定是正确的。记住，我不是在说复杂性，关于f或关于g，我只是在创建一个快捷方式，说c*g（n）是f（n）的上界

因此存在一些常数c，使得f（n）总是≤ c*g（n），对于足够大的n（即n≥ n0表示某些常数n0）。

如果你不知道的话，我会告诉你函数的上界是什么。函数g（n）是f（n）的上界≤ c*g（n）表示足够大的n。你肯定想知道足够大意味着什么，是吗？我们只是指f（n）≤ c*g（n）对于大于某个数的所有n都是真的。我们不知道它是哪个数，我们也不想知道，因为对我们来说唯一重要的是这个数存在！我们将它称为n0，这样我们就可以说，如果n≥ 不

3n^2− 100n+6=O（n^2），因为我选择c=3和3n^2>3n^2− 100n+6；

简单的英语：现在让我们来举个例子来说明