Big o O（n^log（n））比O（n！）大吗

n是一个介于1和+无穷大之间的数字，这是为了了解算法的复杂性

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我需要看看n^log（n）是否大于n

如果我没弄错你的问题，你是在问n^（logn）在n趋于无穷大的极限内是否大于n！。简短的回答是否定的：在这个极限下，n！大于n^（对数n）

这可以通过使用斯特林近似（例如，参见）来证明，根据该近似，log（n！）与n log（n！）等价（取决于对数基数的预因子）。相比之下，log（n^（log（n）））等于log（n）²。由于n>log（n）表示所有正整数，因此对于n的大值，这会给出log（n！）>log（n^（log（n）），从而得到n！>n^（log（n））

（更正式地说，这意味着n的任何函数都是O（n^（log（n）））也是O（n！），尽管反过来不是真的。如果你感兴趣，你可以在维基百科关于big-O符号（）的文章或这些课堂讲稿中找到更多细节：）

这里有一个图表说明了这一点（我为纵轴选择了一个对数刻度，因为n！变得相当大，即使是中等大小的n值）：

如您所见，对于n的大值，n！远大于n^（对数n）。 以下是我用于生成绘图的Python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# maximum value of n
max_n = 100

list_n = range(1, max_n+1)

# array of values of n^(log(n))
# NumPy uses a base-e log
n_exp_log_n = [n**(np.log(n)) for n in list_n]

# array of values of n!
factorial_n = [np.math.factorial(n) for n in list_n]

# plot the results with logarithmic vertical scale
plt.plot(list_n, n_exp_log_n, label='$n^{\log (n)}$')
plt.plot(list_n, factorial_n, label='$n!$')
plt.xlim(1, max_n)
plt.xlabel('$n$')
plt.yscale('log')
plt.legend()
plt.grid()
plt.tight_layout()
plt.show()

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如果您的问题是n^（log（n））>n！对于某些正整数为真，答案也是否定的：对于n=1和n，它们相等！>n^（log（n））表示n>1。（形式证明并不困难，但需要更多的代数。）

你的问题到底是什么？仅仅通过尝试一些你可以看到的例子，n！会大得多。N将每个数字相乘，直到n（n=4:1*2*3*4=24），其中log（n）比n小得多（看看图表）。（n=4:log（4）~0.6；4^0.6=2.3）