Binary 如果一行不超过M个零/1，则有多少个具有N位的二进制数

有一个方程可以用来计算任意的M和N吗

例如，N=3和M=2：

3位允许8个不同的组合，但其中只有2个在一行中不包含超过2个相同的符号

000-失败

001-失败

010-好的

011-失败

100-失败

101-好的

110-失败

---

111-失败

解决问题的一种方法如下：我们希望计算长度

n

的二进制字，而不计算长度

m

或更大的二进制字。让

g（n，m）

表示这些单词的数量。在本例中，

n=3

和

m=2

如果

n

，则每个二进制单词都工作，我们总共得到

g（n，m）=2^n

个单词

当

n>=m

时，我们可以选择从

1、2、。。。m-1

重复值， 其次是

g（n-1，m），g（n-2，m）。。。g（n-m+1，m）

分别选择。结合起来，我们得到以下递归（在Python中）：

---

---

没有方程，我不认为，但对于M=2，对于给定的N，似乎只有两个可能的值。在最高有效位设置为0或1后，其余的必须从该值切换，例如N=4:0101、1010、N=5:01010、10101等。谢谢，但不幸的是，我只使用了M=2，因为它很容易说明。我对一般情况感兴趣。

from functools import lru_cache

@lru_cache(None) # memoization
def g(n, m):
  if n < m:
    return 2 ** n
  else:
    return sum(g(n-j, m) for j in range(1, m))

from itertools import product, groupby

def brute_force(n, k):
  # generate all binary sequences of length n
  products = product([0,1], repeat=n)
  count = 0
  for prod in products:
    has_run = False
    # group consecutive digits
    for _, gp in groupby(prod):
      gp_size = sum(1 for _ in gp)
      if gp_size >= k:
        # there are k or more consecutive digits in a row
        has_run = True
        break
    if not has_run:
      count += 1
  return count

assert 2 == g(3, 2) == brute_force(3, 2)
assert 927936 == g(20, 7) == brute_force(20, 7)