C 为什么三次添加1.0/3.0的效果与数学上预期的一样？

我知道在大多数情况下，实数不能用二进制精确表示（即使是所谓的双精度）。例如，1.0/3.0近似为0x3FD5555555，它实际上表示0.3333333 1483。。。。如果我们执行（1.0/3.0）+（1.0/3.0），那么我们将获得0x3FE555（因此0.66666666662965…），这与计算机算术的预期一样

但是，当我试图通过编写以下代码来执行（1.0/3.0）+（1.0/3.0）+（1.0/3.0）时

#include<stdio.h>
int main(){
    double result=1.0/3.0;
    result+=1.0/3.0;
    result+=1.0/3.0;
    printf("%016llx\n",result);
}

#包括
int main（）{
双结果=1.0/3.0；
结果+=1.0/3.0；
结果+=1.0/3.0；
printf（“%016llx\n”，结果）；
}

然后使用标准GNU C编译器编译它，结果程序返回0x3ff0000000000000（正好代表1）。这个结果让我感到困惑，因为我最初期望0x3FEFFFFFFFFFFFFFFFFF（我不期望舍入误差相互抵消，因为（1.0/3.0）和（（1.0/3.0）+（1.0/3.0））在用二进制表示时都小于实际值），我仍然没有弄清楚发生了什么

如果您能告诉我这个结果的可能原因，我将不胜感激。

这是一个很好的四舍五入问题。如果我没记错的话，算术协处理器使用80位：64位精度位和15位指数（）。这意味着该操作在内部使用的位超过了您可以显示的位。最后，协处理器实际上对其内部表示进行了四舍五入（更精确）以给出一个仅64位的值。由于第一个下降的位是1而不是0，所以结果向上取整，得到1

但我必须承认我只是在猜测

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但是，如果您尝试手动执行该操作，如果加法立即将所有精度位设置为1（将5555…5和555…5相加，移位1）加上第一个要删除的位，也是1。所以，用手，正常人会向上倒1，所以算术单元也能做正确的舍入，这并不奇怪。< /P> < P>不需要考虑80位表示-在java中结果是相同的，除了一些不相关的边缘情况之外，与IEEE 754 64位二进制算法的双精度运算行为相同

1.0/3.0

的精确值为0.33331482961625624739099939472198486328125

只要所有涉及的数字都在正常范围内，乘以或除以二的幂就是准确的。它只改变指数，不改变有效位。特别是，将

1.0/3.0

添加到自身是精确的，因此第一次添加的结果是0.6666666629659232512494947819858789443969265625

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第二个加法确实涉及舍入。精确总和为0.999999999999988897769753748434595763683319091796875，由可表示数字0.9999999999994448884876874217297818416595458984375和1.0括起。精确值介于括号中的数字之间。必须删除一个位。1.0的最低有效位是零，因此这是加法的四舍五入结果。

“实数不能用二进制精确表示”这不是二进制系统独有的。十进制系统也不能显示一些没有无限精度的数字。Re“即使有所谓的双精度”，也没有所谓的双精度。单精度浮点的精度为24位，而双精度浮点的精度为53位浮点的两倍多一点。由于这是一个问答论坛，如果您发表评论，让他们添加一些有意义的内容来解决此处提出的问题或澄清问题，我将不胜感激，虽然我考虑删除第一个句子，如果它会导致不必要的混乱，但它并不像基2中的数学值那么多，因为它在基10中。您可以通过添加printf（“%.19f\n”，result）看到的内容；在变量赋值之后。你会看到0.33…33148，而不是0.33…33000。四舍五入仍然使其达到1.0。只需将其添加5次，使其累积到足够明显的程度。您的代码具有未定义的行为，因为格式字符串指定正在格式化的参数的类型为

long long unsigned

，并且该参数的类型实际上为

double

。当行为未定义时，对发生的情况的解释隐含地依赖于编译器。请使用指定类型为

double

的格式。非常感谢您的回答。你能让我确认一下我的理解是否正确吗？这是我目前的理解：当我们执行（1.0/3.0）+（1.0/3.0）时，算术协处理器中的结果尾数是0x555…5（十六进制16位，64位），第一个删除的第53位是0。因此，显示结果时，结果向下四舍五入。相反，当我们执行（1.0/3.0）+（1.0/3.0）+（1.0/3.0）时，尾数是0xfff…f，第一个下降的位是1，因此结果向上取整，得到的正好是1。“这是对的吗？”凯蒂马克：正如我已经说过的，我只是在猜测。但我认为这是正确的…在这种情况下，我会接受你的答案，尽管我必须研究一些文件来说服自己。非常感谢你！非常感谢你的回答。你能让我确认一下我的理解是否正确吗？这是我目前的理解：第二次加法的确切结果是二进制表示的0x3FEFFFFFFFFF8（十六进制的17位数字）。由于精确表示法在二进制表示法中的位数多于64位，因此必须执行舍入，精确结果正好在0x3FFFFFFFFFFFFF和0x3ff0000000000000之间的一半。因此，执行舍入操作，使最低有效位默认为0，即0x3ff0000000000000（dicimal表示为1.0）。对吗？谢谢。也许我应该咨询一下SO中现有的其他Q&a，但我还有一个问题：计算机如何